Run 16446892

Paper: https://arxiv.org/abs/2001.09176

Formulas:

1-

V (ℋ) = {x_{1}, \dots, x_{n}}

2-

S \in ℰ (ℋ)

3-

W \subseteq V (ℋ)

4-

S \in ℰ (ℋ)

5-

ℰ (ℋ) ∖ {S}

6-

R : R = K [x_{1}, \dots, x_{n}]

7-

\deg x_{i} = 1

8-

\prod_{x_{i} \in S} x_{i}

9-

{x_{i_{1}}, \dots, x_{i_{k}}}

10-

{x_{1}, \dots, x_{n}}

Formulas (html):

Correct Categorie: math

Guessed Categorie: math

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1907.00885

Formulas:

1-

𝒜 = {A_{1}, \dots, A_{n}}

2-

{1, \dots, n}

3-

⋂_{i \in S} A_{i} \neq \emptyset

4-

k \geq 2, b \geq 1

5-

f_{k + 1} = 0

6-

f_{k} \leq c f_{k - 1}

7-

𝒦 = {K_{1}, K_{2}, \dots, K_{n}}

8-

N (𝒦) = {S \subset [n] : ⋂_{i \in S} K_{i} \neq \emptyset}

9-

f_{k} (𝒦) = f_{k} (N (𝒦)) = | {S \in N (𝒦) : | S | = k + 1} |

10-

f_{n - 1} (𝒦) = 0

Formulas (html):

Correct Categorie: math

Guessed Categorie: math

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/physics/0610078

Formulas:

1-

V_{t h} = - 150

2-

3 f_{0} \approx 490

3-

τ = μ m^{*} / e

4-

\frac{1}{τ_{eff}} = \frac{1}{τ} - \frac{2 v_{0}}{L_{g}}

5-

μ = 13000 {cm}^{2} V^{- 1} s^{- 1}

6-

Q = ω_{0} τ_{eff} \approx 1.2

7-

ω_{0} τ_{eff} \approx 1

8-

v_{0} \approx 8 10^{5} m . s^{- 1}

9-

R_{ω} = \frac{e η_{ω}}{ℏ Ω} (\frac{\tan (β_{ω} L_{g})}{β_{ω} L_{g}} - 1)

10-

ℏ Ω / e = 0.8

Formulas (html):

Correct Categorie: physics

Guessed Categorie: cond-mat

Result: incorrect

Paper: https://arxiv.org/abs/hep-ph/0010064

Formulas:

1-

\exp (\frac{i W}{ℏ}) = {⟨ 0 | \exp (\frac{i g}{ℏ c} \int_{\partial Σ} (A_{μ}^{c} λ_{c} / 2) 𝑑 x^{μ}) | 0 ⟩}_{+}

2-

W = (τ / c) Σ .

3-

Σ = - c R T,

4-

W = - τ R T .

5-

Σ = - c R T

6-

W = (τ / c) Σ

7-

E_{s t r i n g}

8-

\exp (i W / ℏ) = \exp (- i E_{s t r i n g} T / ℏ) .

9-

E_{s t r i n g} = τ R .

10-

U_{m e s o n} (𝐫_{1}, 𝐫_{2}) = τ | 𝐫_{1} - 𝐫_{2} | .

Formulas (html):

Correct Categorie: hep-ph

Guessed Categorie: cond-mat

Result: incorrect

Paper: https://arxiv.org/abs/0805.1701

Formulas:

1-

| 0, 0 ⟩ + r | 1, 1 ⟩ + r^{2} | 2, 2 ⟩ + \dots

2-

2 {(1 - η)}^{2} η^{2} r^{4}

3-

2 {(1 - η)}^{2} r^{2}

4-

⟨ {\hat{a}}_{k}^{†} {\hat{a}}_{l} ⟩

5-

= ⟨ {\hat{b}}_{k}^{†} {\hat{b}}_{l} ⟩ = \frac{δ_{k l}}{2} (\cosh 2 r_{k} - 1)

6-

⟨ {\hat{a}}_{k} {\hat{b}}_{l} ⟩

7-

= {⟨ {\hat{a}}_{k}^{†} {\hat{b}}_{l}^{†} ⟩}^{*} = \frac{δ_{k l}}{2} \sinh 2 r_{k}

8-

⟨ {\hat{a}}_{k} ⟩ = ⟨ {\hat{b}}_{k} ⟩ = 0

9-

\sum_{k} t_{k} {\hat{a}}_{k}

10-

\sum_{k} t_{k}^{'} {\hat{b}}_{k}

Formulas (html):

Correct Categorie: quant-ph

Guessed Categorie: quant-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1608.02356

Formulas:

1-

E_{i, m i n} \leq E_{i} \leq E_{i, m a x}

2-

g (E) = g (E_{F})

3-

E_{i, m a x} - E_{i, m i n} = Δ E_{i} \approx E_{0}

4-

E_{F} - E_{0} < E_{i^{*}} < E_{F} + E_{0} .

5-

N^{*} = E_{0} g (E_{F})

6-

R^{*} = {[E_{0} g (E_{F})]}^{- 1 / 3}

7-

M e^{2 +} / M e^{3 +}

8-

P_{r p}^{*} \propto ν_{r p}^{*} e^{- 2 α R^{*}}

9-

P_{v f}^{*} \propto ν_{v f}^{*} e^{- 2 α R^{*}},

10-

| E_{j} - E_{i} |

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1804.10997

Formulas:

1-

P_{i} = \sum_{j} e_{i j} ϵ_{j}

2-

P_{i} = \sum_{j} d_{i j} σ_{j}

3-

d_{i j} = \sum_{k = 1}^{6} e_{i k} {(C^{- 1})}_{k j} .

4-

(h k l)

5-

- 3 \leq h, k, l \leq 3

6-

(h k l)

7-

(h k l)

8-

d_{m a x} = m a x (| d_{i j} |)

9-

d_{m a x} > 0

10-

d_{m a x} = m a x (| d_{i j} |)

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1809.08373

Formulas:

1-

E_{l a b} = 7.98

2-

ϕ_{i} (𝐫) = \frac{1}{{(2 π σ_{r}^{2})}^{3 / 4}} \exp [- \frac{{(𝐫 - 𝐫_{i})}^{2}}{4 σ_{r}^{2}} + \frac{i}{ℏ} 𝐫 \cdot 𝐩_{i}],

3-

{\dot{𝐫}}_{i} = \frac{\partial H}{\partial 𝐩_{i}}, {\dot{𝐩}}_{i} = - \frac{\partial H}{\partial 𝐫_{i}} .

4-

T = \sum_{i} \frac{𝐩_{i}^{2}}{2 m}

5-

H = T + U_{𝐂𝐨𝐮𝐥} + U_{𝐥𝐨𝐜},

6-

\frac{1}{2} \int \int ρ_{p} (𝐫) \frac{e^{2}}{| 𝐫 - 𝐫^{'} |} ρ_{p} (𝐫^{'}) 𝑑 𝐫 𝑑 𝐫^{'}

7-

- e^{2} \frac{3}{4} {(\frac{3}{π})}^{1 / 3} \int ρ_{p}^{4 / 3} 𝑑 𝐫 .

8-

U = \int V_{loc} (𝐫) 𝑑 𝐫

9-

\frac{α}{2} \frac{ρ^{2}}{ρ_{0}} + \frac{β}{γ + 1} \frac{ρ^{γ + 1}}{ρ_{0}^{γ}} + \frac{𝑔_{s u r}}{2 ρ_{0}} {(\nabla ρ)}^{2}

10-

+ \frac{C_{s}}{2 ρ_{0}} (ρ^{2} - κ_{s} {(\nabla ρ)}^{2}) δ^{2} + g_{τ} \frac{ρ^{η + 1}}{ρ_{0}^{η}} .

Formulas (html):

Correct Categorie: nucl-th

Guessed Categorie: nucl-th

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/0712.0795

Formulas:

1-

0.56 - 0.59 M_{⊙}

2-

\bar{δ Π_{i}} = 0.64 - 1.03

3-

T_{eff} = {128 000}_{- 2 600}^{+ 8 600}

4-

M_{*} = {0.565}_{- 0.009}^{+ 0.025} M_{⊙}

5-

\log g = {7.42}_{- 0.12}^{+ 0.21}

6-

\log (L_{*} / L_{⊙}) = 2.15 \pm 0.08

7-

\log (R_{*} / R_{⊙}) = - {1.62}_{- 0.09}^{+ 0.06}

8-

M_{env} = 0.017 M_{⊙}

9-

\log T_{eff} - \log g

10-

0.530, 0.542, 0.565, 0.589, 0.609, 0.664

Formulas (html):

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1903.05938

Formulas:

1-

R_{1.4 M_{⊙}} ⩽ 12.94

2-

E_{sym} (2 ρ_{0}) ⩽ 53.2

3-

ℳ = {1.188}_{- 0.002}^{+ 0.004} M_{⊙}

4-

ℳ = {(M_{1} M_{2})}^{3 / 5} {(M_{1} + M_{2})}^{- 1 / 5}

5-

Λ = \frac{2}{3} k_{2} {(\frac{c^{2} R}{G M})}^{5}

6-

Λ_{1.4 M_{⊙}} ⩽ 580

7-

Λ_{1.4 M_{⊙}} ⩽ 580

8-

M_{max} > 2 M_{⊙}

9-

1.365 M_{⊙} ⩽ M_{1} ⩽ 1.60 M_{⊙}

10-

ℳ = {(M_{1} M_{2})}^{3 / 5} {(M_{1} + M_{2})}^{- 1 / 5} = 1.188 M_{⊙}

Formulas (html):

Correct Categorie: nucl-th

Guessed Categorie: nucl-th

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/2009.11766

Formulas:

1-

s \in (0, \frac{n}{2})

2-

2 < q < 2_{s}^{*} := \frac{2 n}{n - 2 s}, \frac{n}{q} - β = \frac{n}{2} - s .

3-

S_{q} \cdot {∥ {| x |}^{- β} u ∥}_{q}^{2} \leq {∥ {(- Δ)}^{\frac{s}{2}} u ∥}_{2}^{2}, u \in 𝒟^{s} (ℝ^{n}),

4-

𝒟^{s} (ℝ^{n}) = {u \in L^{2_{s}^{*}} (ℝ^{n}) | {(- Δ)}^{\frac{s}{2}} u \in L^{2} (ℝ^{n})}, ℱ [{(- Δ)}^{\frac{s}{2}} u] = {| ξ |}^{s} ℱ [u]

5-

\int_{B_{r} (0)} f^{*} (x) 𝑑 x \leq \int_{B_{r} (0)} g^{*} (x) 𝑑 x for any r > 0 .

6-

ϕ (0) = 0

7-

\int_{ℝ^{n}} ϕ (f^{*} (x)) 𝑑 x \leq \int_{ℝ^{n}} ϕ (g^{*} (x)) 𝑑 x .

8-

\int_{ℝ^{n}} f^{*} (x) φ (x) 𝑑 x \leq \int_{ℝ^{n}} g^{*} (x) φ (x) 𝑑 x;

9-

U, V \in 𝒟^{s} (ℝ^{n})

10-

{(- Δ)}^{\frac{s}{2}} U = f := | {(- Δ)}^{\frac{s}{2}} u | \in L^{2} (ℝ^{n}), {(- Δ)}^{\frac{s}{2}} V = f^{*} \in L^{2} (ℝ^{n}),

Formulas (html):

Correct Categorie: math

Guessed Categorie: math

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1908.09547

Formulas:

1-

I_{t} \in ℝ^{H \times W}

2-

{\hat{Y}}_{t} \in ℝ^{H \times W \times C}

3-

{\hat{Y}}_{t} (i, j) \in ℝ^{C}

4-

\sum_{c} {\hat{Y}}_{t} (i, j, c) = 1, \forall i, j

5-

{\hat{Y}}_{t} (i, j, c) \geq 0, \forall i, j, c

6-

\min \sum_{s \in S} ℒ (Y_{s}, {\hat{Y}}_{s}) + λ \sum_{t \in T} \sum_{k \in 𝒫_{t}^{1}} 𝒞 (p_{t}^{k}, {\hat{p}}_{t}^{k})

7-

p_{t}^{0} (c) = \frac{1}{W H} \sum_{i = 1}^{W} \sum_{j = 1}^{H} Y_{t} (i, j, c), \forall c,

8-

p_{t}^{k}, k \in 𝒫_{t}^{1}

9-

p_{t}^{k}, k \in 𝒫_{t}^{1}

10-

\min \sum_{s \in S} ℒ (Y_{s}, {\hat{Y}}_{s}) + λ \sum_{t \in T} \sum_{(i, j) \in 𝒫_{t}^{2}} 𝒞 (Y_{t} (i, j), {\hat{Y}}_{t} (i, j)),

Formulas (html):

Correct Categorie: cs

Guessed Categorie: cs

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1110.6394

Formulas:

1-

f_{b} = \frac{A_{0}}{2} (1 - \frac{γ}{3}) Q_{α β}^{2} - \frac{A_{0} γ}{3} Q_{α β} Q_{β γ} Q_{γ α} + \frac{A_{0} γ}{4} {(Q_{α β}^{2})}^{2}

2-

f_{d} = \frac{K}{2} {(\partial_{β} Q_{α β})}^{2} + \frac{K}{2} {(ϵ_{α ζ δ} \partial_{ζ} Q_{δ β} + 2 q_{0} Q_{α β})}^{2}

3-

p \equiv 2 π / q_{0}

4-

ϵ_{α ζ δ}

5-

f_{s} = 1 / 2 W_{0} {(Q_{α β} - Q_{α β}^{0})}^{2}

6-

- \frac{ε_{a}}{12 π} E_{α} Q_{α β} E_{β}

7-

e^{2} = 27 ε_{a} E_{α}^{2} / (32 π A_{0} γ)

8-

1 - 10 V / μ m

9-

e^{2} \sim 0.003 - 0.3

10-

D_{t} 𝐐 = Γ 𝐇

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/cond-mat/9508064

Formulas:

1-

H ({φ})

2-

H ({φ})

3-

\frac{1}{2} \sum_{x, y} φ_{x} A_{x, y} φ_{y}

4-

a_{x} δ_{x, y} - δ_{| x - y |, 1}

5-

\frac{\partial φ_{x} (t)}{\partial t}

6-

- \frac{δ H ({φ})}{δ φ_{x}} + η_{x} (t) = - \sum_{y} A_{x, y} φ_{y} (t) + η_{x} (t) .

7-

η_{x} (t)

8-

< η_{x} (t_{1}) η_{y} (t_{2}) > = 2 D_{x, y} δ (t_{1} - t_{2}) .

9-

D_{0} δ_{x, y} + D_{1} δ_{| x - y |, 1} .

10-

{D_{0}, D_{1}}

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/cond-mat/0605099

Formulas:

1-

H = - t \sum_{< j, l, >, σ} c_{j, σ}^{†} c_{l, σ} + U \sum_{j} n_{j, ↑} n_{j, ↓} .

2-

n_{j, σ} = c_{j σ}^{†} c_{j, σ}

3-

H_{r e l} = - \frac{ℏ^{2} \nabla^{2}}{2 μ} + \frac{1}{2} μ ω^{2} r^{2} + V (r)

4-

V (r) = \frac{4 π ℏ^{2} a}{m} δ^{(3)} (r) \frac{\partial}{\partial r} r .

5-

\frac{a_{h o}}{a} = \sqrt{2} \frac{Γ (- E / 2 ℏ ω + 3 / 4)}{Γ (- E / 2 ℏ ω + 1 / 4)},

6-

a_{h o} = \sqrt{ℏ / m ω}

7-

| a | / a_{h o} ≪ 1

8-

β_{6} = {(2 μ C_{6} / ℏ^{2})}^{1 / 4}

9-

β_{6} / a_{h o} < 0.1

10-

a (E) = {(\frac{1}{a} - \frac{1}{2 a_{h o}} \frac{E}{ℏ ω} \frac{r_{eff}}{a_{h o}})}^{- 1} .

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1903.08051

Formulas:

1-

f (𝐈) = g (f_{_{i d}} (𝐈), f_{_{e x p}} (𝐈))

2-

f_{_{i d}} (𝐈)

3-

f_{_{e x p}} (𝐈)

4-

f_{_{e x p}} (𝐈)

5-

f_{_{i d}} (𝐈)

6-

\min_{𝐆} \max_{𝐃} V (𝐃, 𝐆) =

7-

𝔼 [l o g (𝐃 (𝐲))] + 𝔼 [l o g (1 - 𝐃 (𝐆 (𝐳)))]

8-

𝐆 (𝐳) \to 𝐲

9-

𝐆 (𝐱, 𝐳) \to 𝐲

10-

\min_{𝐆} \max_{𝐃} V (𝐃, 𝐆) =

Formulas (html):

Correct Categorie: cs

Guessed Categorie: cs

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/2005.01665

Formulas:

1-

f \in L^{2} (ℝ^{n})

2-

u = \arg \min_{u} sup_{f \in L^{2} (ℝ^{n})} \frac{{∥ \nabla (u * f) ∥}_{L^{2} (ℝ^{n})}}{{∥ f ∥}_{L^{2} (ℝ^{n})}} .

3-

c_{α, β, n} > 0

4-

u \in L^{1} (ℝ^{n})

5-

{∥ {| ξ |}^{β} \cdot \hat{u} ∥}_{L^{\infty} (ℝ^{n})}^{α} \cdot {∥ {| x |}^{α} \cdot u ∥}_{L^{1} (ℝ^{n})}^{β} \geq c_{α, β, n} {∥ u ∥}_{L^{1} (ℝ^{n})}^{α + β} .

6-

(n, β) = (1, 1)

7-

u (x) = χ_{[- 1 / 2, 1 / 2]}

8-

[- 1 / 2, 1 / 2]

9-

α \in {2, 3, 4, 5, 6}

10-

f : ℝ^{n} \to ℝ

Formulas (html):

Correct Categorie: math

Guessed Categorie: math

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/cond-mat/0301229

Formulas:

1-

10^{5} c m^{- 1}

2-

n a_{X} < 0.1

3-

n > 10^{6} c m^{- 1}

4-

n a_{X} > 1

5-

n a_{X} > 0.1

6-

n a_{X} = 0.8

7-

{4 10}^{6} c m^{- 1}

8-

{8 10}^{5} c m^{- 1}

9-

10^{5} c m^{- 1}

10-

n a_{X} \approx 0.1 - 1

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/hep-ph/0005077

Formulas:

1-

{| ψ (0) |}^{2}

2-

{| ψ (0) |}^{2}

3-

{| ψ (0) |}^{2}

4-

{| ψ (0) |}^{2}

5-

{| ψ (0) |}^{2}

6-

{| ψ (0) |}^{2}

7-

a_{m} + m_{i} + m_{j} + b m_{0}^{2} \frac{𝐬_{𝐢} . 𝐬_{𝐣}}{m_{i} m_{j}},

8-

a_{b} + \sum_{i} m_{i} + \frac{b m_{0}^{2}}{3} \sum_{i < j} \frac{𝐬_{𝐢} . 𝐬_{𝐣}}{m_{i} m_{j}},

9-

{| ψ (0) |}^{2}

10-

{| ψ (0) |}^{2}

Formulas (html):

Correct Categorie: hep-ph

Guessed Categorie: hep-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/cond-mat/0604131

Formulas:

1-

Ω [ρ_{m} (𝒓, 𝒖), ρ_{f} (𝒓, 𝒖)] = Ω_{m} [ρ_{m} (𝒓, 𝒖)] + Ω_{f} [ρ_{m} (𝒓, 𝒖), ρ_{f} (𝒓, 𝒖)]

2-

Ω_{m} [ρ_{m} (𝒓, 𝒖)]

3-

β Ω_{m} [ρ_{m} (𝒓, 𝒖)] = \int d 𝒓 d 𝒖 ρ_{m} (𝒓, 𝒖) {\log ρ_{m} (𝒓, 𝒖) - 1 + β V_{m} (𝒓, 𝒖) - β μ_{m}}

4-

V_{m} (𝒓, 𝒖)

5-

β = 1 / k_{B} T

6-

V_{m} (𝒓, 𝒖)

7-

ρ_{m} (𝒓, 𝒖) = ρ_{m} = \exp (β μ_{m})

8-

β Ω_{f} [ρ_{f} (𝒓, 𝒖), ρ_{m} (𝒓, 𝒖)]

9-

\int d 𝒓 d 𝒖 ρ_{f} (𝒓, 𝒖) [\log ρ_{f} (𝒓, 𝒖) - 1] + β \int d 𝒓 d 𝒖 [V (𝒓, 𝒖) - μ] ρ_{f} (𝒓, 𝒖)

10-

β F_{ex} [ρ_{f} (𝒓, 𝒖)] + β F_{ex}^{m f} [ρ_{f} (𝒓, 𝒖), ρ_{m} (𝒓, 𝒖)]

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1012.3762

Formulas:

1-

[i \frac{\partial}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} - V_{ext} (z) + g {| Ψ (z, t) |}^{2}] Ψ (z, t) = 0,

2-

a_{z} = \sqrt{ℏ / m ω_{z}}

3-

m ω_{z}^{2} z^{2} / 2

4-

Ψ (z, t)

5-

1 / \sqrt{2 a_{z} ω_{⟂} / ω_{z}}

6-

g = - a / a_{z}

7-

V_{ext} (z)

8-

n_{-} = n_{2} - n_{1} ≪ n_{+} = n_{2} + n_{1}

9-

Δ (t) = \frac{4}{α} \log [\frac{α (α^{2} + 2 α β \cos (ω t + Φ_{0}) + β^{2})}{β g^{2} n_{-}^{2}}],

10-

\tan^{- 1} (\frac{β \sin (ω t + ϕ_{0})}{α + β \cos (ω t + ϕ_{0})})

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1311.3568

Formulas:

1-

t_{c o o l}

2-

{\tilde{t}}_{a c c}

3-

\dot{M} \sim 1.9 \times 10^{- 6} M_{⊙} {yr}^{- 1}

4-

\tilde{α} = ϵ_{e} / ϵ_{B} \sim 1.12 \times 10^{2}

5-

M_{*} / M_{⊙} ≳ 8

6-

14 - 26 M_{⊙}

7-

17 - 18 M_{⊙}

8-

N (E) = N_{0} E^{- γ}

9-

u_{e}, u_{B} \propto t^{- 2}

10-

ρ_{w} \propto r^{- 2}

Formulas (html):

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/astro-ph/0106542

Formulas:

1-

ρ = \frac{M}{2 π r {(r + r_{s})}^{3}},

2-

t_{d y n} = 4 π \sqrt{\frac{r_{s}^{3}}{G M}}

3-

P = \frac{Δ x}{λ},

4-

λ = 1 / (n σ)

5-

P_{s, i j} = σ_{s}^{*} v_{i j} ρ_{l} Δ t,

6-

σ_{a}^{*} = \frac{{\tilde{σ}}_{a}}{m} \frac{v_{a}}{v},

7-

{\tilde{σ}}_{a} v_{a}

8-

P_{a} = σ_{a}^{*} ρ_{l} v Δ t = \frac{{\tilde{σ}}_{a} v_{a}}{m} ρ_{l} Δ t,

9-

m_{i, n e w} = (1 - F) m_{i, o l d} .

10-

m_{i, o l d} - m_{i, n e w}

Formulas (html):

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1401.6827

Formulas:

1-

n = 1, 2, 3, \dots

2-

x = \log_{10} P / 1 d

3-

f_{1} = 1 - f_{M}

4-

f_{C} = f_{2} + 2 f_{3} + 3 f_{4} + \dots

5-

f_{H} = \sum_{n = 3}^{\infty} f_{n} = 1 - f_{1} - f_{2}

6-

q = M_{B} / M_{A} < 1

7-

q_{sys} = (M_{B} + M_{C}) / M_{A}

8-

q = M_{B} / M_{A}

9-

q = M_{C} / M_{A}

10-

q_{sys} = M_{C} / (M_{A} + M_{B})

Formulas (html):

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/0902.4787

Formulas:

1-

α = d n_{s} / d \log k

2-

i \bar{ψ} γ_{5} ψ

3-

S [e, A] = \frac{1}{16 π G} (\int d^{4} x e e_{a}^{μ} e_{b}^{ν} F_{μ ν}^{a b} - \frac{1}{γ} \int d^{4} x e e_{a}^{μ} e_{b}^{ν} {\tilde{F}}_{μ ν}^{a b}),

4-

a = 0, 1, 2, 3

5-

μ = 0, 1, 2, 3

6-

e \equiv det e_{a}^{μ}

7-

F_{μ ν}^{a b}

8-

A_{c d}^{μ} = e_{c}^{ν} (e_{d, ν}^{μ} - Γ_{ρ ν}^{μ} e_{d}^{ρ}),

9-

{\tilde{F}}_{μ ν}^{a b} = \frac{1}{2} ϵ_{c d}^{a b} F_{μ ν}^{c d}

10-

ω_{c d}^{μ} [e]

Formulas (html):

Correct Categorie: gr-qc

Guessed Categorie: gr-qc

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1611.06481

Formulas:

1-

\leq 10^{- 3} {cm}^{- 3}

2-

\sim (10^{38} - 10^{40})

3-

\sim (10^{42} - 10^{43})

4-

21 \pm 7 % (3 σ)

5-

E_{γ} \approx 5 \times 10^{51}

6-

\sim 100 {cm}^{- 3} pc

7-

8.3 \times 10^{51} erg

8-

Q = 10^{n} Q_{n}

9-

= 06^{h} 44^{m} 33^{s} .12

10-

= - 51^{\circ} 11^{'} 31 " .2

Formulas (html):

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1910.10905

Formulas:

1-

{mm}^{2} / (\min \cdot K)

2-

H_{f}^{D} (P) = E_{f}^{D} (P) + P v_{f}^{D},

3-

v_{f}^{D} = v_{N + ξ_{D}} - (v_{N} + ξ_{D} v_{1}) = Δ v_{rx}^{D} - ξ_{D} v_{1},

4-

Δ v_{rx}^{D} = v_{N + ξ_{D}} - v_{N}

5-

P Δ v_{rx}^{D} - P_{s} ξ_{D} v_{1} = P Δ v_{rx}^{D}

6-

Δ v_{rx}^{D} = 0

7-

P_{s} ξ_{D} v_{1}

8-

P Δ v_{rx}^{D}

9-

V \sum_{i j} σ_{i j} ϵ_{i j}

10-

H_{f}^{D} (𝐱)

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1407.5862

Formulas:

1-

θ (Δ t)

2-

θ (Δ t)

3-

τ_{v} = (6 \pm 0.1)

4-

𝑺 = \sum_{𝑲} 𝑺_{𝑲}

5-

𝛀_{𝑲} = α K (\cos 2 ϑ, \sin 2 ϑ)

6-

α = c Γ_{0} (n + 1) / [(n^{2} + 1) ω_{0}]

7-

Γ_{0, α} \to Γ_{0, α} (1 + r_{α})

8-

\partial 𝑺_{𝑲} / \partial t + S_{𝑲} \times 𝛀_{𝑲} = 𝑸 {𝑺_{𝑲}}

9-

Q {𝑺_{𝑲}}

10-

τ_{z z}^{- 1}

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1510.07870

Formulas:

1-

λ_{o v} H_{p}

2-

1.8 - 1.9 M_{⊙}

3-

M = 1.80 M_{⊙}

4-

M = 1.89 M_{⊙}

5-

Δ M \sim 0.01 M_{⊙}

6-

\log (L / L_{⊙}) \approx 2.142

7-

\sim 10^{6} M_{⊙}

8-

2 - 3 \times 10^{7}

9-

\sim 10^{6} M_{⊙}

10-

\sim 5 \times 10^{5} M_{⊙}

Formulas (html):

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/cond-mat/9505154

Formulas:

1-

ν \equiv N / N_{ϕ}

2-

N_{ϕ} = A B / Φ_{0} = A / (2 π ℓ^{2})

3-

g μ_{B} B = 0.015 e^{2} / ℓ

4-

N_{q p} = | N - N_{ϕ} |

5-

ϵ_{q p} \equiv \frac{ν [ϵ + (e^{2} / ℓ) \sqrt{\frac{π}{8}} + g μ_{B} B / 2]}{| 1 - ν |}

6-

- (e^{2} / ℓ) \sqrt{π / 8}

7-

g μ_{B} B

8-

ϵ_{q p}^{X} \to (e^{2} / ℓ) [{(π / 8)}^{1 / 2} - {(π / 16)}^{1 / 2}] \approx 0.1835 (e^{2} / ℓ)

9-

ϵ_{q p}^{H} \to (e^{2} / ℓ) {(π / 16)}^{1 / 2} \approx 0.4431 (e^{2} / ℓ)

10-

ϵ_{m a d} \approx - 0.7821 ν_{q p}^{1 / 2} (e^{2} / ℓ)

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1507.07636

Formulas:

1-

{argmax}_{y \in V} δ (ω_{y}, ω_{x} - ω_{a} + ω_{b})

2-

δ (i, j) = \frac{ω_{i}^{T} ω_{j}}{{∥ ω_{i} ∥}_{2} {∥ ω_{j} ∥}_{2}}

3-

{argmax}_{y \in V} \frac{δ (y, b) δ (y, x)}{δ (y, a) + ϵ}

4-

P_{H}, P_{T} \in ℝ^{D \times d}

5-

R_{H} \in ℝ^{D \times (D - d)}

6-

P_{H}^{T} R_{H} = 0

7-

Φ (t) = P_{H} e x p (t B) P_{T}

8-

Φ (0) = P_{H}

9-

Φ (1) = P_{T}

10-

Φ (t) = P_{H} U_{1} Γ (t) - R_{H} U_{2} Σ (t),

Formulas (html):

<math><mrow id="S3.E1.m1.2.2" xref="S3.E1.m1.2.2.cmml"><msub id="S3.E1.m1.2.2.4" xref="S3.E1.m1.2.2.4.cmml"><mtext id="S3.E1.m1.2.2.4.2" xref="S3.E1.m1.2.2.4.2a.cmml">argmax</mtext><mrow id="S3.E1.m1.2.2.4.3" xref="S3.E1.m1.2.2.4.3.cmml"><mi id="S3.E1.m1.2.2.4.3.2" xref="S3.E1.m1.2.2.4.3.2.cmml">y</mi><mo id="S3.E1.m1.2.2.4.3.1" xref="S3.E1.m1.2.2.4.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.E1.m1.2.2.4.3.3" xref="S3.E1.m1.2.2.4.3.3.cmml">V</mi></mrow></msub><mo id="S3.E1.m1.2.2.3" xref="S3.E1.m1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E1.m1.2.2.5" xref="S3.E1.m1.2.2.5.cmml">δ</mi><mo id="S3.E1.m1.2.2.3a" xref="S3.E1.m1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E1.m1.2.2.2.2" xref="S3.E1.m1.2.2.2.3.cmml"><mo stretchy="false" id="S3.E1.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.E1.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">y</mi></msub><mo id="S3.E1.m1.2.2.2.2.4" xref="S3.E1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">x</mi></msub><mo id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">-</mo><msub id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">a</mi></msub></mrow><mo id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.1" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">b</mi></msub></mrow><mo stretchy="false" id="S3.E1.m1.2.2.2.2.5" xref="S3.E1.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S3.E2.m1.4.5" xref="S3.E2.m1.4.5.cmml"><mrow id="S3.E2.m1.4.5.2" xref="S3.E2.m1.4.5.2.cmml"><mi id="S3.E2.m1.4.5.2.2" xref="S3.E2.m1.4.5.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E2.m1.4.5.2.1" xref="S3.E2.m1.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E2.m1.4.5.2.3.2" xref="S3.E2.m1.4.5.2.3.1.cmml"><mo stretchy="false" id="S3.E2.m1.4.5.2.3.2.1" xref="S3.E2.m1.4.5.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E2.m1.3.3" xref="S3.E2.m1.3.3.cmml">i</mi><mo id="S3.E2.m1.4.5.2.3.2.2" xref="S3.E2.m1.4.5.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E2.m1.4.4" xref="S3.E2.m1.4.4.cmml">j</mi><mo stretchy="false" id="S3.E2.m1.4.5.2.3.2.3" xref="S3.E2.m1.4.5.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E2.m1.4.5.1" xref="S3.E2.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mfrac id="S3.E2.m1.2.2" xref="S3.E2.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E2.m1.2.2.4" xref="S3.E2.m1.2.2.4.cmml"><msubsup id="S3.E2.m1.2.2.4.2" xref="S3.E2.m1.2.2.4.2.cmml"><mi id="S3.E2.m1.2.2.4.2.2.2" xref="S3.E2.m1.2.2.4.2.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.E2.m1.2.2.4.2.2.3" xref="S3.E2.m1.2.2.4.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.E2.m1.2.2.4.2.3" xref="S3.E2.m1.2.2.4.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S3.E2.m1.2.2.4.1" xref="S3.E2.m1.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E2.m1.2.2.4.3" xref="S3.E2.m1.2.2.4.3.cmml"><mi id="S3.E2.m1.2.2.4.3.2" xref="S3.E2.m1.2.2.4.3.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.E2.m1.2.2.4.3.3" xref="S3.E2.m1.2.2.4.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mrow id="S3.E2.m1.2.2.2" xref="S3.E2.m1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E2.m1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S3.E2.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E2.m1.2.2.2.3" xref="S3.E2.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E2.m1.2.2.2.2" xref="S3.E2.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E2.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.E2.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E2.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.E2.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S3.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ω</mi><mi id="S3.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E2.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E2.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S3.E2.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.E2.m1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mfrac></mrow></math>, <math><mrow id="S3.E3.m1.6.7" xref="S3.E3.m1.6.7.cmml"><msub id="S3.E3.m1.6.7.2" xref="S3.E3.m1.6.7.2.cmml"><mtext id="S3.E3.m1.6.7.2.2" xref="S3.E3.m1.6.7.2.2a.cmml">argmax</mtext><mrow id="S3.E3.m1.6.7.2.3" xref="S3.E3.m1.6.7.2.3.cmml"><mi id="S3.E3.m1.6.7.2.3.2" xref="S3.E3.m1.6.7.2.3.2.cmml">y</mi><mo id="S3.E3.m1.6.7.2.3.1" xref="S3.E3.m1.6.7.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.E3.m1.6.7.2.3.3" xref="S3.E3.m1.6.7.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msub><mo id="S3.E3.m1.6.7.1" xref="S3.E3.m1.6.7.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S3.E3.m1.6.6" xref="S3.E3.m1.6.6.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.4.4.4" xref="S3.E3.m1.4.4.4.cmml"><mi id="S3.E3.m1.4.4.4.6" xref="S3.E3.m1.4.4.4.6.cmml">δ</mi><mo id="S3.E3.m1.4.4.4.5" xref="S3.E3.m1.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.4.4.4.7.2" xref="S3.E3.m1.4.4.4.7.1.cmml"><mo stretchy="false" id="S3.E3.m1.4.4.4.7.2.1" xref="S3.E3.m1.4.4.4.7.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E3.m1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.cmml">y</mi><mo id="S3.E3.m1.4.4.4.7.2.2" xref="S3.E3.m1.4.4.4.7.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E3.m1.2.2.2.2" xref="S3.E3.m1.2.2.2.2.cmml">b</mi><mo stretchy="false" id="S3.E3.m1.4.4.4.7.2.3" xref="S3.E3.m1.4.4.4.7.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E3.m1.4.4.4.5a" xref="S3.E3.m1.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E3.m1.4.4.4.8" xref="S3.E3.m1.4.4.4.8.cmml">δ</mi><mo id="S3.E3.m1.4.4.4.5b" xref="S3.E3.m1.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.4.4.4.9.2" xref="S3.E3.m1.4.4.4.9.1.cmml"><mo stretchy="false" id="S3.E3.m1.4.4.4.9.2.1" xref="S3.E3.m1.4.4.4.9.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E3.m1.3.3.3.3" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.cmml">y</mi><mo id="S3.E3.m1.4.4.4.9.2.2" xref="S3.E3.m1.4.4.4.9.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E3.m1.4.4.4.4" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.cmml">x</mi><mo stretchy="false" id="S3.E3.m1.4.4.4.9.2.3" xref="S3.E3.m1.4.4.4.9.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.E3.m1.6.6.6" xref="S3.E3.m1.6.6.6.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.6.6.6.4" xref="S3.E3.m1.6.6.6.4.cmml"><mi id="S3.E3.m1.6.6.6.4.2" xref="S3.E3.m1.6.6.6.4.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E3.m1.6.6.6.4.1" xref="S3.E3.m1.6.6.6.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.6.6.6.4.3.2" xref="S3.E3.m1.6.6.6.4.3.1.cmml"><mo stretchy="false" id="S3.E3.m1.6.6.6.4.3.2.1" xref="S3.E3.m1.6.6.6.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E3.m1.5.5.5.1" xref="S3.E3.m1.5.5.5.1.cmml">y</mi><mo id="S3.E3.m1.6.6.6.4.3.2.2" xref="S3.E3.m1.6.6.6.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E3.m1.6.6.6.2" xref="S3.E3.m1.6.6.6.2.cmml">a</mi><mo stretchy="false" id="S3.E3.m1.6.6.6.4.3.2.3" xref="S3.E3.m1.6.6.6.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E3.m1.6.6.6.3" xref="S3.E3.m1.6.6.6.3.cmml">+</mo><mi id="S3.E3.m1.6.6.6.5" xref="S3.E3.m1.6.6.6.5.cmml">ϵ</mi></mrow></mfrac></mrow></math>, <math><mrow id="S4.p3.9.m9.2.2" xref="S4.p3.9.m9.2.2.cmml"><mrow id="S4.p3.9.m9.2.2.2.2" xref="S4.p3.9.m9.2.2.2.3.cmml"><msub id="S4.p3.9.m9.1.1.1.1.1" xref="S4.p3.9.m9.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.9.m9.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p3.9.m9.1.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S4.p3.9.m9.1.1.1.1.1.3" xref="S4.p3.9.m9.1.1.1.1.1.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.p3.9.m9.2.2.2.2.3" xref="S4.p3.9.m9.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p3.9.m9.2.2.2.2.2" xref="S4.p3.9.m9.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p3.9.m9.2.2.2.2.2.2" xref="S4.p3.9.m9.2.2.2.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.p3.9.m9.2.2.2.2.2.3" xref="S4.p3.9.m9.2.2.2.2.2.3.cmml">T</mi></msub></mrow><mo id="S4.p3.9.m9.2.2.3" xref="S4.p3.9.m9.2.2.3.cmml">∈</mo><msup id="S4.p3.9.m9.2.2.4" xref="S4.p3.9.m9.2.2.4.cmml"><mi id="S4.p3.9.m9.2.2.4.2" xref="S4.p3.9.m9.2.2.4.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S4.p3.9.m9.2.2.4.3" xref="S4.p3.9.m9.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.p3.9.m9.2.2.4.3.2" xref="S4.p3.9.m9.2.2.4.3.2.cmml">D</mi><mo id="S4.p3.9.m9.2.2.4.3.1" xref="S4.p3.9.m9.2.2.4.3.1.cmml">×</mo><mi id="S4.p3.9.m9.2.2.4.3.3" xref="S4.p3.9.m9.2.2.4.3.3.cmml">d</mi></mrow></msup></mrow></math>, <math><mrow id="S4.p3.10.m10.1.2" xref="S4.p3.10.m10.1.2.cmml"><msub id="S4.p3.10.m10.1.2.2" xref="S4.p3.10.m10.1.2.2.cmml"><mi id="S4.p3.10.m10.1.2.2.2" xref="S4.p3.10.m10.1.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="S4.p3.10.m10.1.2.2.3" xref="S4.p3.10.m10.1.2.2.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.p3.10.m10.1.2.1" xref="S4.p3.10.m10.1.2.1.cmml">∈</mo><msup id="S4.p3.10.m10.1.2.3" xref="S4.p3.10.m10.1.2.3.cmml"><mi id="S4.p3.10.m10.1.2.3.2" xref="S4.p3.10.m10.1.2.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S4.p3.10.m10.1.1.1" xref="S4.p3.10.m10.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.10.m10.1.1.1.3" xref="S4.p3.10.m10.1.1.1.3.cmml">D</mi><mo id="S4.p3.10.m10.1.1.1.2" xref="S4.p3.10.m10.1.1.1.2.cmml">×</mo><mrow id="S4.p3.10.m10.1.1.1.1.1" xref="S4.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo stretchy="false" id="S4.p3.10.m10.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S4.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.cmml">-</mo><mi id="S4.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></mrow><mo stretchy="false" id="S4.p3.10.m10.1.1.1.1.1.3" xref="S4.p3.10.m10.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow></math>, <math><mrow id="S4.p3.12.m12.1.1" xref="S4.p3.12.m12.1.1.cmml"><mrow id="S4.p3.12.m12.1.1.2" xref="S4.p3.12.m12.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.p3.12.m12.1.1.2.2" xref="S4.p3.12.m12.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.p3.12.m12.1.1.2.2.2.2" xref="S4.p3.12.m12.1.1.2.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.p3.12.m12.1.1.2.2.3" xref="S4.p3.12.m12.1.1.2.2.3.cmml">H</mi><mi id="S4.p3.12.m12.1.1.2.2.2.3" xref="S4.p3.12.m12.1.1.2.2.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.p3.12.m12.1.1.2.1" xref="S4.p3.12.m12.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.p3.12.m12.1.1.2.3" xref="S4.p3.12.m12.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.p3.12.m12.1.1.2.3.2" xref="S4.p3.12.m12.1.1.2.3.2.cmml">R</mi><mi id="S4.p3.12.m12.1.1.2.3.3" xref="S4.p3.12.m12.1.1.2.3.3.cmml">H</mi></msub></mrow><mo id="S4.p3.12.m12.1.1.1" xref="S4.p3.12.m12.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p3.12.m12.1.1.3" xref="S4.p3.12.m12.1.1.3.cmml">0</mn></mrow></math>, <math><mrow id="S4.p3.15.m15.2.2" xref="S4.p3.15.m15.2.2.cmml"><mrow id="S4.p3.15.m15.2.2.3" xref="S4.p3.15.m15.2.2.3.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S4.p3.15.m15.2.2.3.2" xref="S4.p3.15.m15.2.2.3.2.cmml">Φ</mi><mo id="S4.p3.15.m15.2.2.3.1" xref="S4.p3.15.m15.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p3.15.m15.2.2.3.3.2" xref="S4.p3.15.m15.2.2.3.cmml"><mo stretchy="false" id="S4.p3.15.m15.2.2.3.3.2.1" xref="S4.p3.15.m15.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p3.15.m15.1.1" xref="S4.p3.15.m15.1.1.cmml">t</mi><mo stretchy="false" id="S4.p3.15.m15.2.2.3.3.2.2" xref="S4.p3.15.m15.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p3.15.m15.2.2.2" xref="S4.p3.15.m15.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.p3.15.m15.2.2.1" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.cmml"><msub id="S4.p3.15.m15.2.2.1.3" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.p3.15.m15.2.2.1.3.2" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.3.2.cmml">P</mi><mi id="S4.p3.15.m15.2.2.1.3.3" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.3.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.p3.15.m15.2.2.1.2" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.15.m15.2.2.1.4" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.4.cmml">e</mi><mo id="S4.p3.15.m15.2.2.1.2a" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.15.m15.2.2.1.5" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.5.cmml">x</mi><mo id="S4.p3.15.m15.2.2.1.2b" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.15.m15.2.2.1.6" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.6.cmml">p</mi><mo id="S4.p3.15.m15.2.2.1.2c" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p3.15.m15.2.2.1.1.1" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo stretchy="false" id="S4.p3.15.m15.2.2.1.1.1.2" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.p3.15.m15.2.2.1.1.1.1" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.15.m15.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.p3.15.m15.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.15.m15.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.1.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><mo stretchy="false" id="S4.p3.15.m15.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.p3.15.m15.2.2.1.2d" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.p3.15.m15.2.2.1.7" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.7.cmml"><mi id="S4.p3.15.m15.2.2.1.7.2" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.7.2.cmml">P</mi><mi id="S4.p3.15.m15.2.2.1.7.3" xref="S4.p3.15.m15.2.2.1.7.3.cmml">T</mi></msub></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S4.p3.16.m16.1.2" xref="S4.p3.16.m16.1.2.cmml"><mrow id="S4.p3.16.m16.1.2.2" xref="S4.p3.16.m16.1.2.2.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S4.p3.16.m16.1.2.2.2" xref="S4.p3.16.m16.1.2.2.2.cmml">Φ</mi><mo id="S4.p3.16.m16.1.2.2.1" xref="S4.p3.16.m16.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p3.16.m16.1.2.2.3.2" xref="S4.p3.16.m16.1.2.2.cmml"><mo stretchy="false" id="S4.p3.16.m16.1.2.2.3.2.1" xref="S4.p3.16.m16.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S4.p3.16.m16.1.1" xref="S4.p3.16.m16.1.1.cmml">0</mn><mo stretchy="false" id="S4.p3.16.m16.1.2.2.3.2.2" xref="S4.p3.16.m16.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p3.16.m16.1.2.1" xref="S4.p3.16.m16.1.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.p3.16.m16.1.2.3" xref="S4.p3.16.m16.1.2.3.cmml"><mi id="S4.p3.16.m16.1.2.3.2" xref="S4.p3.16.m16.1.2.3.2.cmml">P</mi><mi id="S4.p3.16.m16.1.2.3.3" xref="S4.p3.16.m16.1.2.3.3.cmml">H</mi></msub></mrow></math>, <math><mrow id="S4.p3.17.m17.1.2" xref="S4.p3.17.m17.1.2.cmml"><mrow id="S4.p3.17.m17.1.2.2" xref="S4.p3.17.m17.1.2.2.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S4.p3.17.m17.1.2.2.2" xref="S4.p3.17.m17.1.2.2.2.cmml">Φ</mi><mo id="S4.p3.17.m17.1.2.2.1" xref="S4.p3.17.m17.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p3.17.m17.1.2.2.3.2" xref="S4.p3.17.m17.1.2.2.cmml"><mo stretchy="false" id="S4.p3.17.m17.1.2.2.3.2.1" xref="S4.p3.17.m17.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S4.p3.17.m17.1.1" xref="S4.p3.17.m17.1.1.cmml">1</mn><mo stretchy="false" id="S4.p3.17.m17.1.2.2.3.2.2" xref="S4.p3.17.m17.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p3.17.m17.1.2.1" xref="S4.p3.17.m17.1.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.p3.17.m17.1.2.3" xref="S4.p3.17.m17.1.2.3.cmml"><mi id="S4.p3.17.m17.1.2.3.2" xref="S4.p3.17.m17.1.2.3.2.cmml">P</mi><mi id="S4.p3.17.m17.1.2.3.3" xref="S4.p3.17.m17.1.2.3.3.cmml">T</mi></msub></mrow></math>, <math><mrow id="S4.E4.m1.4.4.1" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.4.4.1.1" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S4.E4.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">Φ</mi><mo id="S4.E4.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo stretchy="false" id="S4.E4.m1.4.4.1.1.2.3.2.1" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E4.m1.1.1" xref="S4.E4.m1.1.1.cmml">t</mi><mo stretchy="false" id="S4.E4.m1.4.4.1.1.2.3.2.2" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><msub id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.1" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.3" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.cmml">U</mi><mn id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.3.3" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.1a" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi mathvariant="normal" id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.4" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.4.cmml">Γ</mi><mo id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.1b" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.5.2" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mo stretchy="false" id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.5.2.1" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E4.m1.2.2" xref="S4.E4.m1.2.2.cmml">t</mi><mo stretchy="false" id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.5.2.2" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">-</mo><mrow id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><msub id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.2.2.cmml">R</mi><mi id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.1" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.3" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.3.2" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.cmml">U</mi><mn id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.3.3" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.1a" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi mathvariant="normal" id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.4" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.4.cmml">Σ</mi><mo id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.1b" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.5.2" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mo stretchy="false" id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.5.2.1" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E4.m1.3.3" xref="S4.E4.m1.3.3.cmml">t</mi><mo stretchy="false" id="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.5.2.2" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E4.m1.4.4.1.2" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow></math>

Correct Categorie: cs

Guessed Categorie: cs

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/hep-lat/9810050

Formulas:

1-

𝒪 (a^{4})

2-

𝒪 (v^{4}, v^{6})

3-

S_{N R} = ψ^{†} (D_{t} + H_{0} + δ H (c_{i})) ψ

4-

[t_{m i n}, N_{τ}]

5-

Δ E_{h f s}

6-

\frac{m {(C_{F} α_{s})}^{4}}{3} + \frac{.5425 π C_{F}^{4}}{m^{3} α_{s}^{2}} f_{10} ⟨ α_{s} G^{2} ⟩

7-

Δ E_{S P}

8-

\frac{m {(C_{F} α_{s})}^{2}}{16 / 3} + \frac{64 π}{C_{F}^{4} m^{3} α_{s}^{4}} f_{21} ⟨ α_{s} G^{2} ⟩

9-

f_{n l}^{- 1}

10-

1 + (λ_{G}^{- 1} / [m {(4 / 3 α_{s})}^{2}]) ρ_{n l}

Formulas (html):

Correct Categorie: hep-lat

Guessed Categorie: hep-ph

Result: incorrect

Paper: https://arxiv.org/abs/physics/0701342

Formulas:

1-

y (z) = a \sin (2 π z / λ)

2-

Ω_{ch} = c \sqrt{2 U_{\max}^{'} / d ε}

3-

ω_{0} \approx 2 π c / λ

4-

ω_{ch} \approx 2 γ^{2} Ω_{ch}

5-

ω \approx 4 γ^{2} ω_{0} / (2 + p^{2})

6-

γ = ε / m c^{2}

7-

p = 2 π γ a / λ

8-

{\begin{matrix} C = 4 π^{2} ε a / U_{\max}^{'} λ^{2} < 1 & - stable channeling, \\ d < a ≪ λ & - large-amplitude regime, \\ N = L / λ ≫ 1 & - large number of periods, \\ L \sim \min [L_{d} (C), L_{a} (ω)] & - account for dechanneling and photon attenuation, \\ Δ ε / ε ≪ 1 & - low radiative losses . \end{matrix}

9-

C \equiv F_{cf} / U_{\max}^{'} < 1

10-

F_{cf} \approx ε / R_{\min}

Formulas (html):

<math><mrow id="S1.F1.6.m2.3.3" xref="S1.F1.6.m2.3.3.cmml"><mrow id="S1.F1.6.m2.3.3.3" xref="S1.F1.6.m2.3.3.3.cmml"><mi id="S1.F1.6.m2.3.3.3.2" xref="S1.F1.6.m2.3.3.3.2.cmml">y</mi><mo id="S1.F1.6.m2.3.3.3.1" xref="S1.F1.6.m2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.F1.6.m2.3.3.3.3.2" xref="S1.F1.6.m2.3.3.3.cmml"><mo stretchy="false" id="S1.F1.6.m2.3.3.3.3.2.1" xref="S1.F1.6.m2.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S1.F1.6.m2.1.1" xref="S1.F1.6.m2.1.1.cmml">z</mi><mo stretchy="false" id="S1.F1.6.m2.3.3.3.3.2.2" xref="S1.F1.6.m2.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.F1.6.m2.3.3.2" xref="S1.F1.6.m2.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.F1.6.m2.3.3.1" xref="S1.F1.6.m2.3.3.1.cmml"><mi id="S1.F1.6.m2.3.3.1.3" xref="S1.F1.6.m2.3.3.1.3.cmml">a</mi><mo id="S1.F1.6.m2.3.3.1.2" xref="S1.F1.6.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1" xref="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S1.F1.6.m2.2.2" xref="S1.F1.6.m2.2.2.cmml">sin</mi><mo id="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1b" xref="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mo stretchy="false" id="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.1" xref="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">π</mi><mo id="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.1b" xref="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4" xref="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.4.cmml">z</mi></mrow><mo id="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow><mo stretchy="false" id="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="S1.F1.6.m2.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S1.p3.1.m1.1.1" xref="S1.p3.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S1.p3.1.m1.1.1.2" xref="S1.p3.1.m1.1.1.2.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S1.p3.1.m1.1.1.2.2" xref="S1.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml">Ω</mi><mi id="S1.p3.1.m1.1.1.2.3" xref="S1.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml">ch</mi></msub><mo id="S1.p3.1.m1.1.1.1" xref="S1.p3.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p3.1.m1.1.1.3" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="S1.p3.1.m1.1.1.3.1" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S1.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mrow id="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mrow id="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.cmml"><mn id="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.1" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.3" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.3.2.2" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.3.3" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.3.3.cmml">max</mi><mo id="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.3.2.3" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><mo id="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.2.1" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">/</mo><mi id="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">d</mi></mrow><mo id="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.1" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">ε</mi></mrow></msqrt></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S1.p3.6.m6.1.1" xref="S1.p3.6.m6.1.1.cmml"><msub id="S1.p3.6.m6.1.1.2" xref="S1.p3.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p3.6.m6.1.1.2.2" xref="S1.p3.6.m6.1.1.2.2.cmml">ω</mi><mn id="S1.p3.6.m6.1.1.2.3" xref="S1.p3.6.m6.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S1.p3.6.m6.1.1.1" xref="S1.p3.6.m6.1.1.1.cmml">≈</mo><mrow id="S1.p3.6.m6.1.1.3" xref="S1.p3.6.m6.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.p3.6.m6.1.1.3.2" xref="S1.p3.6.m6.1.1.3.2.cmml"><mn id="S1.p3.6.m6.1.1.3.2.2" xref="S1.p3.6.m6.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S1.p3.6.m6.1.1.3.2.1" xref="S1.p3.6.m6.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p3.6.m6.1.1.3.2.3" xref="S1.p3.6.m6.1.1.3.2.3.cmml">π</mi><mo id="S1.p3.6.m6.1.1.3.2.1a" xref="S1.p3.6.m6.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p3.6.m6.1.1.3.2.4" xref="S1.p3.6.m6.1.1.3.2.4.cmml">c</mi></mrow><mo id="S1.p3.6.m6.1.1.3.1" xref="S1.p3.6.m6.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S1.p3.6.m6.1.1.3.3" xref="S1.p3.6.m6.1.1.3.3.cmml">λ</mi></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S1.p3.8.m8.1.1" xref="S1.p3.8.m8.1.1.cmml"><msub id="S1.p3.8.m8.1.1.2" xref="S1.p3.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p3.8.m8.1.1.2.2" xref="S1.p3.8.m8.1.1.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S1.p3.8.m8.1.1.2.3" xref="S1.p3.8.m8.1.1.2.3.cmml">ch</mi></msub><mo id="S1.p3.8.m8.1.1.1" xref="S1.p3.8.m8.1.1.1.cmml">≈</mo><mrow id="S1.p3.8.m8.1.1.3" xref="S1.p3.8.m8.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p3.8.m8.1.1.3.2" xref="S1.p3.8.m8.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S1.p3.8.m8.1.1.3.1" xref="S1.p3.8.m8.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.p3.8.m8.1.1.3.3" xref="S1.p3.8.m8.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p3.8.m8.1.1.3.3.2" xref="S1.p3.8.m8.1.1.3.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S1.p3.8.m8.1.1.3.3.3" xref="S1.p3.8.m8.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.p3.8.m8.1.1.3.1a" xref="S1.p3.8.m8.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.p3.8.m8.1.1.3.4" xref="S1.p3.8.m8.1.1.3.4.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S1.p3.8.m8.1.1.3.4.2" xref="S1.p3.8.m8.1.1.3.4.2.cmml">Ω</mi><mi id="S1.p3.8.m8.1.1.3.4.3" xref="S1.p3.8.m8.1.1.3.4.3.cmml">ch</mi></msub></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S1.p3.9.m9.1.1" xref="S1.p3.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S1.p3.9.m9.1.1.3" xref="S1.p3.9.m9.1.1.3.cmml">ω</mi><mo id="S1.p3.9.m9.1.1.2" xref="S1.p3.9.m9.1.1.2.cmml">≈</mo><mrow id="S1.p3.9.m9.1.1.1" xref="S1.p3.9.m9.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.p3.9.m9.1.1.1.3" xref="S1.p3.9.m9.1.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p3.9.m9.1.1.1.3.2" xref="S1.p3.9.m9.1.1.1.3.2.cmml">4</mn><mo id="S1.p3.9.m9.1.1.1.3.1" xref="S1.p3.9.m9.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.p3.9.m9.1.1.1.3.3" xref="S1.p3.9.m9.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p3.9.m9.1.1.1.3.3.2" xref="S1.p3.9.m9.1.1.1.3.3.2.cmml">γ</mi><mn id="S1.p3.9.m9.1.1.1.3.3.3" xref="S1.p3.9.m9.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.p3.9.m9.1.1.1.3.1a" xref="S1.p3.9.m9.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.p3.9.m9.1.1.1.3.4" xref="S1.p3.9.m9.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S1.p3.9.m9.1.1.1.3.4.2" xref="S1.p3.9.m9.1.1.1.3.4.2.cmml">ω</mi><mn id="S1.p3.9.m9.1.1.1.3.4.3" xref="S1.p3.9.m9.1.1.1.3.4.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S1.p3.9.m9.1.1.1.2" xref="S1.p3.9.m9.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S1.p3.9.m9.1.1.1.1.1" xref="S1.p3.9.m9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo stretchy="false" id="S1.p3.9.m9.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p3.9.m9.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.p3.9.m9.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p3.9.m9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S1.p3.9.m9.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p3.9.m9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S1.p3.9.m9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p3.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S1.p3.9.m9.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p3.9.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p3.9.m9.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.p3.9.m9.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mn id="S1.p3.9.m9.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.p3.9.m9.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo stretchy="false" id="S1.p3.9.m9.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p3.9.m9.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S1.p3.10.m10.1.1" xref="S1.p3.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S1.p3.10.m10.1.1.2" xref="S1.p3.10.m10.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S1.p3.10.m10.1.1.1" xref="S1.p3.10.m10.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p3.10.m10.1.1.3" xref="S1.p3.10.m10.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.p3.10.m10.1.1.3.2" xref="S1.p3.10.m10.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.p3.10.m10.1.1.3.2.2" xref="S1.p3.10.m10.1.1.3.2.2.cmml">ε</mi><mo id="S1.p3.10.m10.1.1.3.2.1" xref="S1.p3.10.m10.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="S1.p3.10.m10.1.1.3.2.3" xref="S1.p3.10.m10.1.1.3.2.3.cmml">m</mi></mrow><mo id="S1.p3.10.m10.1.1.3.1" xref="S1.p3.10.m10.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.p3.10.m10.1.1.3.3" xref="S1.p3.10.m10.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p3.10.m10.1.1.3.3.2" xref="S1.p3.10.m10.1.1.3.3.2.cmml">c</mi><mn id="S1.p3.10.m10.1.1.3.3.3" xref="S1.p3.10.m10.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S1.p3.11.m11.1.1" xref="S1.p3.11.m11.1.1.cmml"><mi id="S1.p3.11.m11.1.1.2" xref="S1.p3.11.m11.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S1.p3.11.m11.1.1.1" xref="S1.p3.11.m11.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p3.11.m11.1.1.3" xref="S1.p3.11.m11.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.p3.11.m11.1.1.3.2" xref="S1.p3.11.m11.1.1.3.2.cmml"><mn id="S1.p3.11.m11.1.1.3.2.2" xref="S1.p3.11.m11.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S1.p3.11.m11.1.1.3.2.1" xref="S1.p3.11.m11.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p3.11.m11.1.1.3.2.3" xref="S1.p3.11.m11.1.1.3.2.3.cmml">π</mi><mo id="S1.p3.11.m11.1.1.3.2.1a" xref="S1.p3.11.m11.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p3.11.m11.1.1.3.2.4" xref="S1.p3.11.m11.1.1.3.2.4.cmml">γ</mi><mo id="S1.p3.11.m11.1.1.3.2.1b" xref="S1.p3.11.m11.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p3.11.m11.1.1.3.2.5" xref="S1.p3.11.m11.1.1.3.2.5.cmml">a</mi></mrow><mo id="S1.p3.11.m11.1.1.3.1" xref="S1.p3.11.m11.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S1.p3.11.m11.1.1.3.3" xref="S1.p3.11.m11.1.1.3.3.cmml">λ</mi></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S1.E1.m1.10.10a" xref="S1.E1.m1.10.11.1.cmml"><mo id="S1.E1.m1.10.10a.11" xref="S1.E1.m1.10.11.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" rowspacing="0pt" id="S1.E1.m1.10.10.10a" xref="S1.E1.m1.10.11.1.cmml"><mtr id="S1.E1.m1.10.10.10aa" xref="S1.E1.m1.10.11.1.cmml"><mtd columnalign="left" id="S1.E1.m1.10.10.10ab" xref="S1.E1.m1.10.11.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">4</mn><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.cmml">π</mi><mn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1a" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4.cmml">ε</mi><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1b" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.5" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.5.cmml">a</mi></mrow><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">/</mo><msubsup id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">max</mi><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><</mo><mn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml">1</mn></mrow></mtd><mtd columnalign="left" id="S1.E1.m1.10.10.10ac" xref="S1.E1.m1.10.11.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.2.2.2.2.2.1" xref="S1.E1.m1.2.2.2.2.2.1c.cmml"><mtext id="S1.E1.m1.2.2.2.2.2.1a" xref="S1.E1.m1.2.2.2.2.2.1c.cmml">- stable channeling</mtext><mtext id="S1.E1.m1.2.2.2.2.2.1b" xref="S1.E1.m1.2.2.2.2.2.1c.cmml">,</mtext></mrow></mtd></mtr><mtr id="S1.E1.m1.10.10.10ad" xref="S1.E1.m1.10.11.1.cmml"><mtd columnalign="left" id="S1.E1.m1.10.10.10ae" xref="S1.E1.m1.10.11.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S1.E1.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="S1.E1.m1.3.3.3.3.1.1.2" xref="S1.E1.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S1.E1.m1.3.3.3.3.1.1.3" xref="S1.E1.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S1.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4" xref="S1.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.cmml">a</mi><mo id="S1.E1.m1.3.3.3.3.1.1.5" xref="S1.E1.m1.3.3.3.3.1.1.5.cmml">≪</mo><mi id="S1.E1.m1.3.3.3.3.1.1.6" xref="S1.E1.m1.3.3.3.3.1.1.6.cmml">λ</mi></mrow></mtd><mtd columnalign="left" id="S1.E1.m1.10.10.10af" xref="S1.E1.m1.10.11.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.4.4.4.4.2.1" xref="S1.E1.m1.4.4.4.4.2.1c.cmml"><mtext id="S1.E1.m1.4.4.4.4.2.1a" xref="S1.E1.m1.4.4.4.4.2.1c.cmml">- large-amplitude regime</mtext><mtext id="S1.E1.m1.4.4.4.4.2.1b" xref="S1.E1.m1.4.4.4.4.2.1c.cmml">,</mtext></mrow></mtd></mtr><mtr id="S1.E1.m1.10.10.10ag" xref="S1.E1.m1.10.11.1.cmml"><mtd columnalign="left" id="S1.E1.m1.10.10.10ah" xref="S1.E1.m1.10.11.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.5.5.5.5.1.1" xref="S1.E1.m1.5.5.5.5.1.1.cmml"><mi id="S1.E1.m1.5.5.5.5.1.1.2" xref="S1.E1.m1.5.5.5.5.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S1.E1.m1.5.5.5.5.1.1.3" xref="S1.E1.m1.5.5.5.5.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.E1.m1.5.5.5.5.1.1.4" xref="S1.E1.m1.5.5.5.5.1.1.4.cmml"><mi id="S1.E1.m1.5.5.5.5.1.1.4.2" xref="S1.E1.m1.5.5.5.5.1.1.4.2.cmml">L</mi><mo id="S1.E1.m1.5.5.5.5.1.1.4.1" xref="S1.E1.m1.5.5.5.5.1.1.4.1.cmml">/</mo><mi id="S1.E1.m1.5.5.5.5.1.1.4.3" xref="S1.E1.m1.5.5.5.5.1.1.4.3.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S1.E1.m1.5.5.5.5.1.1.5" xref="S1.E1.m1.5.5.5.5.1.1.5.cmml">≫</mo><mn id="S1.E1.m1.5.5.5.5.1.1.6" xref="S1.E1.m1.5.5.5.5.1.1.6.cmml">1</mn></mrow></mtd><mtd columnalign="left" id="S1.E1.m1.10.10.10ai" xref="S1.E1.m1.10.11.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.6.6.6.6.2.1" xref="S1.E1.m1.6.6.6.6.2.1c.cmml"><mtext id="S1.E1.m1.6.6.6.6.2.1a" xref="S1.E1.m1.6.6.6.6.2.1c.cmml">- large number of periods</mtext><mtext id="S1.E1.m1.6.6.6.6.2.1b" xref="S1.E1.m1.6.6.6.6.2.1c.cmml">,</mtext></mrow></mtd></mtr><mtr id="S1.E1.m1.10.10.10aj" xref="S1.E1.m1.10.11.1.cmml"><mtd columnalign="left" id="S1.E1.m1.10.10.10ak" xref="S1.E1.m1.10.11.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.cmml"><mi id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.7" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.7.cmml">L</mi><mo id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.6" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.6.cmml">∼</mo><mrow id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.3" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.3.cmml">min</mi><mo id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2a" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2.2" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.3.cmml"><mo maxsize="160%" minsize="160%" id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2.2.3" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.3.cmml">[</mo><mrow id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.4.1.1.1" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.4.1.1.1.cmml"><msub id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.4.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.4.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.4.1.1.1.2.2" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.4.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi mathvariant="normal" id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.4.1.1.1.2.3" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.4.1.1.1.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.4.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.4.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.4.1.1.1.3.2" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.4.1.1.1.cmml"><mo stretchy="false" id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.4.1.1.1.3.2.1" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.4.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.1" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.1.cmml">C</mi><mo stretchy="false" id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.4.1.1.1.3.2.2" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2.2.4" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.3.cmml">,</mo><mrow id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2.2.2" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2.2.2.cmml"><msub id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2.2.2.2" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2.2.2.2.2" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2.2.2.2.2.cmml">L</mi><mi mathvariant="normal" id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2.2.2.2.3" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2.2.2.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2.2.2.1" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2.2.2.3.2" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2.2.2.cmml"><mo stretchy="false" id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2.2.2.3.2.1" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.2" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.2.cmml">ω</mi><mo stretchy="false" id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2.2.2.3.2.2" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo maxsize="160%" minsize="160%" id="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.2.2.5" xref="S1.E1.m1.7.7.7.7.1.1.5.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mtd><mtd columnalign="left" id="S1.E1.m1.10.10.10al" xref="S1.E1.m1.10.11.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.8.8.8.8.2.1" xref="S1.E1.m1.8.8.8.8.2.1c.cmml"><mtext id="S1.E1.m1.8.8.8.8.2.1a" xref="S1.E1.m1.8.8.8.8.2.1c.cmml">- account for dechanneling and photon attenuation</mtext><mtext id="S1.E1.m1.8.8.8.8.2.1b" xref="S1.E1.m1.8.8.8.8.2.1c.cmml">,</mtext></mrow></mtd></mtr><mtr id="S1.E1.m1.10.10.10am" xref="S1.E1.m1.10.11.1.cmml"><mtd columnalign="left" id="S1.E1.m1.10.10.10an" xref="S1.E1.m1.10.11.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.9.9.9.9.1.1" xref="S1.E1.m1.9.9.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.9.9.9.9.1.1.2" xref="S1.E1.m1.9.9.9.9.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.9.9.9.9.1.1.2.2" xref="S1.E1.m1.9.9.9.9.1.1.2.2.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S1.E1.m1.9.9.9.9.1.1.2.2.2" xref="S1.E1.m1.9.9.9.9.1.1.2.2.2.cmml">Δ</mi><mo id="S1.E1.m1.9.9.9.9.1.1.2.2.1" xref="S1.E1.m1.9.9.9.9.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E1.m1.9.9.9.9.1.1.2.2.3" xref="S1.E1.m1.9.9.9.9.1.1.2.2.3.cmml">ε</mi></mrow><mo id="S1.E1.m1.9.9.9.9.1.1.2.1" xref="S1.E1.m1.9.9.9.9.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S1.E1.m1.9.9.9.9.1.1.2.3" xref="S1.E1.m1.9.9.9.9.1.1.2.3.cmml">ε</mi></mrow><mo id="S1.E1.m1.9.9.9.9.1.1.1" xref="S1.E1.m1.9.9.9.9.1.1.1.cmml">≪</mo><mn id="S1.E1.m1.9.9.9.9.1.1.3" xref="S1.E1.m1.9.9.9.9.1.1.3.cmml">1</mn></mrow></mtd><mtd columnalign="left" id="S1.E1.m1.10.10.10ao" xref="S1.E1.m1.10.11.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.10.10.10.10.2.1" xref="S1.E1.m1.10.10.10.10.2.1c.cmml"><mtext id="S1.E1.m1.10.10.10.10.2.1a" xref="S1.E1.m1.10.10.10.10.2.1c.cmml">- low radiative losses</mtext><mtext id="S1.E1.m1.10.10.10.10.2.1b" xref="S1.E1.m1.10.10.10.10.2.1c.cmml">.</mtext></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></math>, <math><mrow id="S1.p5.3.m3.1.1" xref="S1.p5.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S1.p5.3.m3.1.1.2" xref="S1.p5.3.m3.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S1.p5.3.m3.1.1.3" xref="S1.p5.3.m3.1.1.3.cmml">≡</mo><mrow id="S1.p5.3.m3.1.1.4" xref="S1.p5.3.m3.1.1.4.cmml"><msub id="S1.p5.3.m3.1.1.4.2" xref="S1.p5.3.m3.1.1.4.2.cmml"><mi id="S1.p5.3.m3.1.1.4.2.2" xref="S1.p5.3.m3.1.1.4.2.2.cmml">F</mi><mi id="S1.p5.3.m3.1.1.4.2.3" xref="S1.p5.3.m3.1.1.4.2.3.cmml">cf</mi></msub><mo id="S1.p5.3.m3.1.1.4.1" xref="S1.p5.3.m3.1.1.4.1.cmml">/</mo><msubsup id="S1.p5.3.m3.1.1.4.3" xref="S1.p5.3.m3.1.1.4.3.cmml"><mi id="S1.p5.3.m3.1.1.4.3.2.2" xref="S1.p5.3.m3.1.1.4.3.2.2.cmml">U</mi><mi id="S1.p5.3.m3.1.1.4.3.3" xref="S1.p5.3.m3.1.1.4.3.3.cmml">max</mi><mo id="S1.p5.3.m3.1.1.4.3.2.3" xref="S1.p5.3.m3.1.1.4.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><mo id="S1.p5.3.m3.1.1.5" xref="S1.p5.3.m3.1.1.5.cmml"><</mo><mn id="S1.p5.3.m3.1.1.6" xref="S1.p5.3.m3.1.1.6.cmml">1</mn></mrow></math>, <math><mrow id="S1.p5.4.m4.1.1" xref="S1.p5.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S1.p5.4.m4.1.1.2" xref="S1.p5.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p5.4.m4.1.1.2.2" xref="S1.p5.4.m4.1.1.2.2.cmml">F</mi><mi id="S1.p5.4.m4.1.1.2.3" xref="S1.p5.4.m4.1.1.2.3.cmml">cf</mi></msub><mo id="S1.p5.4.m4.1.1.1" xref="S1.p5.4.m4.1.1.1.cmml">≈</mo><mrow id="S1.p5.4.m4.1.1.3" xref="S1.p5.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p5.4.m4.1.1.3.2" xref="S1.p5.4.m4.1.1.3.2.cmml">ε</mi><mo id="S1.p5.4.m4.1.1.3.1" xref="S1.p5.4.m4.1.1.3.1.cmml">/</mo><msub id="S1.p5.4.m4.1.1.3.3" xref="S1.p5.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p5.4.m4.1.1.3.3.2" xref="S1.p5.4.m4.1.1.3.3.2.cmml">R</mi><mi id="S1.p5.4.m4.1.1.3.3.3" xref="S1.p5.4.m4.1.1.3.3.3.cmml">min</mi></msub></mrow></mrow></math>

Correct Categorie: physics

Guessed Categorie: physics

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1507.07401

Formulas:

1-

g \in L^{1} (I)

2-

φ : I \times Ω \to I

3-

f \in L^{1} (I)

4-

f (x) = \int_{Ω} | φ_{x}^{'} (x, ω) | f (φ (x, ω)) 𝑑 P (ω) + g (x) .

5-

f (x) = \sum_{n \in ℤ} c_{n} f (k x - n) + g (x)

6-

f (x) = \int_{ℝ} f (k x - y) 𝑑 μ (y) + g (x)

7-

f (x) = \int_{Ω} | φ_{x}^{'} (x, ω) | f (φ (x, ω)) P (d ω) + g (x) .

8-

(Ω, 𝒜, P)

9-

g \in L^{1} (I)

10-

φ : I \times Ω \to I

Formulas (html):

Correct Categorie: math

Guessed Categorie: math

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1503.01365

Formulas:

1-

Δ^{2} ϕ \geq \frac{1}{N F (ϕ)} \geq \frac{1}{N H} .

2-

1 / N F (ϕ)

3-

H = 4 ⟨ n ⟩

4-

V = 1 / 4 N ⟨ n ⟩

5-

V = 1 / 2 N ⟨ n ⟩

6-

V \propto 1 / N {⟨ n ⟩}^{2}

7-

[0, π / 2]

8-

P (ϕ | {x}_{M}) \overset{M ≫ 1}{≃} \frac{1}{𝒩} \prod_{i = 1}^{M} P {(x_{i}, ϕ)}^{M P (x_{i}, ϕ)},

9-

P (x_{i}, ϕ)

10-

P (x_{i}, ϕ) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ_{ϕ}^{2}}} Exp [- \frac{x_{i}^{2}}{2 σ_{ϕ}^{2}}],

Formulas (html):

Correct Categorie: quant-ph

Guessed Categorie: quant-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/astro-ph/9309026

Formulas:

1-

P (y) = 1 - \exp (- N y / 2)

2-

1 - \cos θ \leq y

3-

V = {({\bar{C}}^{64})}_{m a x} / {({\bar{C}}^{1024})}_{m a x}

4-

{({\bar{C}}^{64})}_{m a x}

5-

{({\bar{C}}^{1024})}_{m a x}

6-

\log V \leq - 0.8

7-

\log V > - 0.8

8-

\log V \leq - 0.7

9-

\log V > - 0.7

10-

Q_{M} \sim Q_{K S}^{0.7}

Formulas (html):

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/nlin/0607049

Formulas:

1-

\bar{X} (n) = (X (n), Y (n))

2-

X (n + 1)

3-

= Y (n) + a (1 - b Y {(n)}^{2}) Y (n) + f (X (n)) .

4-

Y (n + 1)

5-

= - X (n) + f (X (n + 1)) .

6-

f (X (n)) = μ X (n) + \frac{2 (1 - μ) X^{2} (n)}{1 + X^{2} (n)}

7-

{\bar{X}}_{d r} (t) = F ({\bar{X}}_{d} (t))

8-

X_{a} (t)

9-

X_{d r} (t)

10-

X_{a} (t)

Formulas (html):

Correct Categorie: nlin

Guessed Categorie: cs

Result: incorrect

Paper: https://arxiv.org/abs/physics/0509024

Formulas:

1-

f (t) = e^{- t / τ}

2-

ϕ_{n}^{u} u_{n} + s_{n}^{u} ϵ_{n}^{u}

3-

ϕ_{n}^{v} v_{n} + s_{n}^{v} ϵ_{n}^{v}

4-

u_{n + 1} = ϕ_{n} u_{n} + s_{n}^{u} ϵ_{n}

5-

s_{0}^{u} ϵ_{0}

6-

ϕ_{1} u_{1} + s_{1}^{u} ϵ_{1}

7-

ϕ_{2} u_{2} + s_{2}^{u} ϵ_{2}

8-

ϕ_{m - 1} u_{m - 1} + s_{m - 1}^{u} ϵ_{m - 1}

9-

(1 - ϕ^{2}) = σ^{2}

10-

f = \frac{1}{{(2 π)}^{\frac{p}{2}} D^{\frac{1}{2}}} exp (- \frac{1}{2} {(z - μ)}^{T} Σ^{- 1} (z - μ))

Formulas (html):

Correct Categorie: physics

Guessed Categorie: physics

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/cond-mat/0510503

Formulas:

1-

2.0 \times 10^{11} {cm}^{- 2}

2-

{Al}_{0.34} {Ga}_{0.66} As

3-

H ψ = E ψ

4-

[\frac{1}{2 m} {(𝐩 + e 𝐀)}^{2} + V (x)] ψ (x, y) = E ψ (x, y),

5-

m = 0.067 m_{e}

6-

𝐀 = (0, x B, 0)

7-

H = \frac{ℏ^{2}}{2 m} [{(\frac{1}{i} \frac{d}{d y} + \frac{x}{ℓ^{2}})}^{2} - \frac{d^{2}}{d x^{2}}] + V (x),

8-

ℓ = \sqrt{ℏ / e B}

9-

ψ (x, y) \propto e^{i k y} φ (x)

10-

k \in ℤ \times 2 π / L_{y}

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/nlin/0607072

Formulas:

1-

i \frac{\partial ϕ}{\partial t} = - (\frac{1}{2 m}) \nabla^{2} ϕ + g {| ϕ |}^{2} ϕ,

2-

ϕ (x, y) = {i B + A \tanh A (y - v t)} \exp (- i μ t),

3-

A^{2} + B^{2} = 1

4-

ϕ \to α ϕ, x \to x / α, y \to y / α, t \to t / α^{2}

5-

ϕ = α {i B + A \tanh A α (y - v α t)} \exp (- i μ α^{2} t)

6-

ϕ = U (r) \exp (i m θ)

7-

\frac{1}{2} (\frac{d U}{d r^{2}} + \frac{1}{r} \frac{d U}{d r} - \frac{m^{2}}{r^{2}} U) + (1 - U^{2}) U = 0

8-

U (0) = 0

9-

U (r) = 1

10-

ϕ = α U (α r) \exp (i m θ)

Formulas (html):

Correct Categorie: nlin

Guessed Categorie: hep-th

Result: incorrect

Paper: https://arxiv.org/abs/1411.5843

Formulas:

1-

B \sim 10^{12} - 10^{16}

2-

M = 1.4 M_{⊙}

3-

I \approx 0.4 M R^{2}

4-

ω = 2 π ν = 2 π / P

5-

μ = B R^{3} / 2

6-

L_{X} \approx \frac{G M \dot{M}}{R} \approx 1.5 \times 10^{20} \dot{M} erg s^{- 1},

7-

L_{Edd} = \frac{4 π G M m_{p} c}{σ_{T}} \approx 1.3 \times 10^{38} \frac{M}{M_{⊙}} erg s^{- 1},

8-

\sim 10^{36} - 10^{38}

9-

\sim 10^{16} - 10^{18}

10-

\sim 10^{- 10} - 10^{- 8}

Formulas (html):

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1811.04405

Formulas:

1-

f_{o u t}

2-

H_{s} = Δ_{s} σ_{s}^{†} σ_{s} + ξ σ_{s} + ξ^{*} σ_{s}^{†},

3-

Δ_{C} a^{†} a + \sum_{j = 1, 2} Δ_{j} σ_{j}^{†} σ_{j} + \sum_{j = 1, 2} g (σ_{j}^{†} a + σ_{j} a^{†}) .

4-

(j = 1, 2)

5-

(j = 1, 2)

6-

Δ_{C} = ω_{c} - ω_{L}

7-

Δ_{s} = ω_{s} - ω_{L}

8-

Δ_{j} = ω_{j} - ω_{L}

9-

\frac{d ρ}{d t} =

10-

i [ρ, H_{s} + H_{t}] + γ_{s} ℒ [σ_{s}] + κ ℒ [a] + γ \sum_{j = 1, 2} ℒ [σ_{j}]

Formulas (html):

Correct Categorie: quant-ph

Guessed Categorie: quant-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/astro-ph/0409360

Formulas:

1-

α = Δ \log S_{ν} / Δ \log ν

2-

L_{X} \sim 10^{- 6} L_{Edd}

3-

S_{5 G H z}

4-

L_{radio} \propto L_{X}^{b}

5-

0.037 \geq α \geq - 0.030

6-

Γ_{r a d i o} ≲ 1.4

7-

L_{J} = A_{steady} L_{X}^{0.5}

8-

A_{steady} \geq 6 \times 10^{- 3}

9-

L_{J} = 20 Δ t^{2 / 7} L_{radio}^{4 / 7} M^{- 3 / 7} = 2 \times 10^{- 5} Δ t^{2 / 7} d^{8 / 7} S_{5 G H z}^{4 / 7} M^{- 1}

10-

_{5 G H z}

Formulas (html):

<math><mrow id="S1.p2.3.m3.1.1" xref="S1.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S1.p2.3.m3.1.1.2" xref="S1.p2.3.m3.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S1.p2.3.m3.1.1.1" xref="S1.p2.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p2.3.m3.1.1.3" xref="S1.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S1.p2.3.m3.1.1.3.2" xref="S1.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml">Δ</mi><mo id="S1.p2.3.m3.1.1.3.1" xref="S1.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p2.3.m3.1.1.3.3" xref="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.1" xref="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.1.cmml">log</mi><mo id="S1.p2.3.m3.1.1.3.3a" xref="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.cmml"><mrow id="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.2" xref="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.2.cmml"><msub id="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.2.2" xref="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.2.2.3" xref="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.2.1" xref="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.2.1.cmml">/</mo><mi mathvariant="normal" id="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.2.3" xref="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.2.3.cmml">Δ</mi></mrow><mo id="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.1" xref="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3" xref="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.1" xref="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.1.cmml">log</mi><mo id="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3a" xref="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.cmml">⁡</mo><mi id="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.2" xref="S1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.2.cmml">ν</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S1.p2.5.m5.1.1" xref="S1.p2.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S1.p2.5.m5.1.1.2" xref="S1.p2.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p2.5.m5.1.1.2.2" xref="S1.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi mathvariant="normal" id="S1.p2.5.m5.1.1.2.3" xref="S1.p2.5.m5.1.1.2.3.cmml">X</mi></msub><mo id="S1.p2.5.m5.1.1.1" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.cmml">∼</mo><mrow id="S1.p2.5.m5.1.1.3" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3.cmml"><msup id="S1.p2.5.m5.1.1.3.2" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml"><mn id="S1.p2.5.m5.1.1.3.2.2" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3.2.2.cmml">10</mn><mrow id="S1.p2.5.m5.1.1.3.2.3" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.1" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.1.cmml">-</mo><mn id="S1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.2" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.2.cmml">6</mn></mrow></msup><mo id="S1.p2.5.m5.1.1.3.1" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.p2.5.m5.1.1.3.3" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p2.5.m5.1.1.3.3.2" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3.3.2.cmml">L</mi><mi id="S1.p2.5.m5.1.1.3.3.3" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3.3.3.cmml">Edd</mi></msub></mrow></mrow></math>, <math><msub id="S1.T1.4.4.4.m1.1.1" xref="S1.T1.4.4.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.T1.4.4.4.m1.1.1.2" xref="S1.T1.4.4.4.m1.1.1.2.cmml">S</mi><mrow id="S1.T1.4.4.4.m1.1.1.3" xref="S1.T1.4.4.4.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S1.T1.4.4.4.m1.1.1.3.2" xref="S1.T1.4.4.4.m1.1.1.3.2.cmml">5</mn><mo id="S1.T1.4.4.4.m1.1.1.3.1" xref="S1.T1.4.4.4.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi mathvariant="normal" id="S1.T1.4.4.4.m1.1.1.3.3" xref="S1.T1.4.4.4.m1.1.1.3.3.cmml">G</mi><mo id="S1.T1.4.4.4.m1.1.1.3.1a" xref="S1.T1.4.4.4.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi mathvariant="normal" id="S1.T1.4.4.4.m1.1.1.3.4" xref="S1.T1.4.4.4.m1.1.1.3.4.cmml">H</mi><mo id="S1.T1.4.4.4.m1.1.1.3.1b" xref="S1.T1.4.4.4.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi mathvariant="normal" id="S1.T1.4.4.4.m1.1.1.3.5" xref="S1.T1.4.4.4.m1.1.1.3.5.cmml">z</mi></mrow></msub></math>, <math><mrow id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">radio</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">∝</mo><msubsup id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">L</mi><mi mathvariant="normal" id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">X</mi><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">b</mi></msubsup></mrow></math>, <math><mrow id="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">0.037</mn><mo id="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">≥</mo><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.4" xref="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.4.cmml">α</mi><mo id="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.5" xref="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.5.cmml">≥</mo><mrow id="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.6" xref="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.6.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.6.1" xref="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.6.1.cmml">-</mo><mn id="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.6.2" xref="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.6.2.cmml">0.030</mn></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S4.p2.5.m5.1.1" xref="S4.p2.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S4.p2.5.m5.1.1.2" xref="S4.p2.5.m5.1.1.2.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S4.p2.5.m5.1.1.2.2" xref="S4.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.p2.5.m5.1.1.2.3" xref="S4.p2.5.m5.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.p2.5.m5.1.1.2.3.2" xref="S4.p2.5.m5.1.1.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.p2.5.m5.1.1.2.3.1" xref="S4.p2.5.m5.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p2.5.m5.1.1.2.3.3" xref="S4.p2.5.m5.1.1.2.3.3.cmml">a</mi><mo id="S4.p2.5.m5.1.1.2.3.1a" xref="S4.p2.5.m5.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p2.5.m5.1.1.2.3.4" xref="S4.p2.5.m5.1.1.2.3.4.cmml">d</mi><mo id="S4.p2.5.m5.1.1.2.3.1b" xref="S4.p2.5.m5.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p2.5.m5.1.1.2.3.5" xref="S4.p2.5.m5.1.1.2.3.5.cmml">i</mi><mo id="S4.p2.5.m5.1.1.2.3.1c" xref="S4.p2.5.m5.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p2.5.m5.1.1.2.3.6" xref="S4.p2.5.m5.1.1.2.3.6.cmml">o</mi></mrow></msub><mo id="S4.p2.5.m5.1.1.1" xref="S4.p2.5.m5.1.1.1.cmml">≲</mo><mn id="S4.p2.5.m5.1.1.3" xref="S4.p2.5.m5.1.1.3.cmml">1.4</mn></mrow></math>, <math><mrow id="S5.Ex1.m1.1.1" xref="S5.Ex1.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex1.m1.1.1.2" xref="S5.Ex1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.1.1.2.2" xref="S5.Ex1.m1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi mathvariant="normal" id="S5.Ex1.m1.1.1.2.3" xref="S5.Ex1.m1.1.1.2.3.cmml">J</mi></msub><mo id="S5.Ex1.m1.1.1.1" xref="S5.Ex1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex1.m1.1.1.3" xref="S5.Ex1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex1.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex1.m1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mi id="S5.Ex1.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex1.m1.1.1.3.2.3.cmml">steady</mi></msub><mo id="S5.Ex1.m1.1.1.3.1" xref="S5.Ex1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex1.m1.1.1.3.3" xref="S5.Ex1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">L</mi><mi mathvariant="normal" id="S5.Ex1.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">X</mi><mn id="S5.Ex1.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex1.m1.1.1.3.3.3.cmml">0.5</mn></msubsup></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mi id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml">steady</mi></msub><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mrow id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml">6</mn><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.1" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml">×</mo><msup id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">10</mn><mrow id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.3.3.1" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">-</mo><mn id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">3</mn></mrow></msup></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S5.Ex2.m1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex2.m1.1.1.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.2.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi mathvariant="normal" id="S5.Ex2.m1.1.1.2.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.2.3.cmml">J</mi></msub><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex2.m1.1.1.4" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.cmml"><mn id="S5.Ex2.m1.1.1.4.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.2.cmml">20</mn><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.4.1" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi mathvariant="normal" id="S5.Ex2.m1.1.1.4.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.3.cmml">Δ</mi><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.4.1a" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex2.m1.1.1.4.4" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.4.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.4.4.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.4.2.cmml">t</mi><mrow id="S5.Ex2.m1.1.1.4.4.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.4.3.cmml"><mn id="S5.Ex2.m1.1.1.4.4.3.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.4.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.4.4.3.1" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.4.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.Ex2.m1.1.1.4.4.3.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.4.3.3.cmml">7</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.4.1b" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex2.m1.1.1.4.5" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.5.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.4.5.2.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.5.2.2.cmml">L</mi><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.4.5.2.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.5.2.3.cmml">radio</mi><mrow id="S5.Ex2.m1.1.1.4.5.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.5.3.cmml"><mn id="S5.Ex2.m1.1.1.4.5.3.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.5.3.2.cmml">4</mn><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.4.5.3.1" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.5.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.Ex2.m1.1.1.4.5.3.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.5.3.3.cmml">7</mn></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.4.1c" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex2.m1.1.1.4.6" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.6.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.4.6.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.6.2.cmml">M</mi><mrow id="S5.Ex2.m1.1.1.4.6.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.6.3.cmml"><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.4.6.3.1" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.6.3.1.cmml">-</mo><mrow id="S5.Ex2.m1.1.1.4.6.3.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.6.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex2.m1.1.1.4.6.3.2.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.6.3.2.2.cmml">3</mn><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.4.6.3.2.1" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.6.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S5.Ex2.m1.1.1.4.6.3.2.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.4.6.3.2.3.cmml">7</mn></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.5" xref="S5.Ex2.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex2.m1.1.1.6" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.cmml"><mrow id="S5.Ex2.m1.1.1.6.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.2.cmml"><mn id="S5.Ex2.m1.1.1.6.2.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.6.2.1" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.2.1.cmml">×</mo><msup id="S5.Ex2.m1.1.1.6.2.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex2.m1.1.1.6.2.3.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.2.3.2.cmml">10</mn><mrow id="S5.Ex2.m1.1.1.6.2.3.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.2.3.3.cmml"><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.6.2.3.3.1" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.2.3.3.1.cmml">-</mo><mn id="S5.Ex2.m1.1.1.6.2.3.3.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.2.3.3.2.cmml">5</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.6.1" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mi mathvariant="normal" id="S5.Ex2.m1.1.1.6.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.3.cmml">Δ</mi><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.6.1a" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex2.m1.1.1.6.4" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.4.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.6.4.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.4.2.cmml">t</mi><mrow id="S5.Ex2.m1.1.1.6.4.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.4.3.cmml"><mn id="S5.Ex2.m1.1.1.6.4.3.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.4.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.6.4.3.1" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.4.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.Ex2.m1.1.1.6.4.3.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.4.3.3.cmml">7</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.6.1b" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex2.m1.1.1.6.5" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.5.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.6.5.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.5.2.cmml">d</mi><mrow id="S5.Ex2.m1.1.1.6.5.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.5.3.cmml"><mn id="S5.Ex2.m1.1.1.6.5.3.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.5.3.2.cmml">8</mn><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.6.5.3.1" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.5.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.Ex2.m1.1.1.6.5.3.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.5.3.3.cmml">7</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.6.1c" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex2.m1.1.1.6.6" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.2.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.2.2.cmml">S</mi><mrow id="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.2.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.2.3.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.2.3.2.cmml">5</mn><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.2.3.1" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi mathvariant="normal" id="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.2.3.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.2.3.3.cmml">G</mi><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.2.3.1a" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi mathvariant="normal" id="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.2.3.4" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.2.3.4.cmml">H</mi><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.2.3.1b" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi mathvariant="normal" id="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.2.3.5" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.2.3.5.cmml">z</mi></mrow><mrow id="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.3.cmml"><mn id="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.3.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.3.2.cmml">4</mn><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.3.1" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.3.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.6.3.3.cmml">7</mn></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.6.1d" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex2.m1.1.1.6.7" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.7.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.6.7.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.7.2.cmml">M</mi><mrow id="S5.Ex2.m1.1.1.6.7.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.7.3.cmml"><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.6.7.3.1" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.7.3.1.cmml">-</mo><mn id="S5.Ex2.m1.1.1.6.7.3.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.6.7.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mrow></math>, <math><msub id="S5.SS2.p3.5.m5.1.1" xref="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p3.5.m5.1.1a" xref="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.cmml"/><mrow id="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.1" xref="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.1.cmml"><mn id="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.1.2" xref="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.1.2.cmml">5</mn><mo id="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.1.1" xref="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi mathvariant="normal" id="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.1.3" xref="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.1.3.cmml">G</mi><mo id="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.1.1a" xref="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi mathvariant="normal" id="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.1.4" xref="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.1.4.cmml">H</mi><mo id="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.1.1b" xref="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi mathvariant="normal" id="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.1.5" xref="S5.SS2.p3.5.m5.1.1.1.5.cmml">z</mi></mrow></msub></math>

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/astro-ph/0006312

Formulas:

1-

\log (N_{H I}) \geq

2-

h = H_{0} / 100

3-

d N (z) = {< l >}^{- 1} c (1 + z) d t = {< l >}^{- 1} \frac{c | d z |}{H (z)}

4-

H (z) = H_{0} \sqrt{Ω_{m} {(1 + z)}^{3} + (1 - Ω_{m} - Ω_{Λ}) {(1 + z)}^{2} + Ω_{Λ}}

5-

d N (z)

6-

n_{a b s} = \frac{c}{H_{0}} {< l >}^{- 1} = n_{w} (z) + n_{f} (z) + n_{p a n} (z),

7-

d N (z) = n_{a b s} \frac{H_{0} d z}{H (z)},

8-

n_{p a n}

9-

B (Ω_{m}, z)

10-

Ω_{m} + Ω_{Λ} = 1, Ω_{m} \geq 0.1

Formulas (html):

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/nucl-th/0104049

Formulas:

1-

V_{C} (r)

2-

[\frac{ℏ^{2}}{2 μ} \nabla^{2} - V_{C} (r) + E] Ψ (\vec{r}) = \int U (\vec{r}, {\vec{r}}^{'}) Ψ ({\vec{r}}^{'}) 𝑑 {\vec{r}}^{'},

3-

Ψ (\vec{r})

4-

U (\vec{r}, {\vec{r}}^{'})

5-

g_{L L^{'}}^{(J S T)} (p^{'}, p; k, K, k_{F})

6-

V_{L L^{'}}^{(J S T)} (p, p^{'})

7-

\frac{2}{π} \sum_{l} \int_{0}^{\infty} V_{L l}^{(J S T)} (p^{'}, q) [ℋ] g_{l L^{'}}^{(J S T)} (q, p; k, K, k_{F}) q^{2} 𝑑 q,

8-

ℋ (q, k, K, k_{F}) = \frac{\bar{Q} (q, K, k_{F})}{\bar{E} (k, K, k_{F}) - \bar{E} (q, K, k_{F}) + i ε}

9-

\bar{Q} (q, K, k_{F})

10-

\bar{E} (q, K, k_{F}) = (q^{2} + K^{2}) + (\frac{m}{ℏ^{2}}) {U (| \vec{q} + \vec{K} |) + U (| \vec{q} - \vec{K} |)} .

Formulas (html):

Correct Categorie: nucl-th

Guessed Categorie: nucl-th

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1109.0365

Formulas:

1-

H = H_{0} + H_{W} + H_{T} .

2-

H_{0} = \sum_{k σ} ε_{L} (k) a_{k, L, σ}^{†} a_{k, L, σ} + \sum_{k σ} ε_{R} (k) a_{k, R, σ}^{†} a_{k, R, σ} .

3-

a_{k, L, σ}^{†} (a_{k, L, σ})

4-

a_{k, R, σ}^{†} (a_{k, R, σ})

5-

ε_{L / R} (k) = ℏ^{2} k^{2} / 2 m_{L / R}

6-

m_{L} = m_{R} = m

7-

H_{W} = \sum_{α} E_{α} a_{α}^{†} a_{α} + H_{I},

8-

E_{α} = ϵ_{α} - e_{0} γ Δ V

9-

H_{T} = \sum_{k α, δ = L, R} (T_{α σ} (k) a_{k, δ, σ}^{†} a_{α} + h.c.)

10-

T_{α σ} (k)

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/astro-ph/0511222

Formulas:

1-

Z = Z_{⊙} / 20

2-

Z \sim < Z_{⊙} / 10

3-

V_{init} / V_{Kepler} = 0.3, 0.4, 0.5, 0.8

4-

M_{init} = 16 M_{⊙}

5-

V_{init} / V_{K} = 0.3

6-

V_{init} / V_{K} = 0.5

7-

V_{init} / V_{K} = 0.3 & 0.4

8-

V_{init} / V_{K} = 0.5 & 0.8

9-

Δ M_{He} \sim > 2.0 M_{⊙}

10-

Z \sim > Z_{⊙} / 10

Formulas (html):

<math><mrow id="id3.1.m1.1.1" xref="id3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="id3.1.m1.1.1.2" xref="id3.1.m1.1.1.2.cmml">Z</mi><mo id="id3.1.m1.1.1.1" xref="id3.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="id3.1.m1.1.1.3" xref="id3.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="id3.1.m1.1.1.3.2" xref="id3.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="id3.1.m1.1.1.3.2.2" xref="id3.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">Z</mi><mo id="id3.1.m1.1.1.3.2.3" xref="id3.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">⊙</mo></msub><mo id="id3.1.m1.1.1.3.1" xref="id3.1.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="id3.1.m1.1.1.3.3" xref="id3.1.m1.1.1.3.3.cmml">20</mn></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S1.p2.1.m1.2.3" xref="S1.p2.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S1.p2.1.m1.2.3.1" xref="S1.p2.1.m1.2.3.1.cmml">Z</mi><mrow id="S1.p2.1.m1.2.2.2.2" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2.2b.cmml"><mpadded depth="+4.0pt" height="-4.0pt" voffset="-4.0pt" width="0.0pt" id="S1.p2.1.m1.2.2.2.2a" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2.2b.cmml"><mo id="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">∼</mo></mpadded><mo id="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.m1.1.1" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.m1.1.1.cmml"><</mo></mrow><mrow id="S1.p2.1.m1.2.3.2" xref="S1.p2.1.m1.2.3.2.cmml"><msub id="S1.p2.1.m1.2.3.2.2" xref="S1.p2.1.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S1.p2.1.m1.2.3.2.2.2" xref="S1.p2.1.m1.2.3.2.2.2.cmml">Z</mi><mo id="S1.p2.1.m1.2.3.2.2.3" xref="S1.p2.1.m1.2.3.2.2.3.cmml">⊙</mo></msub><mo id="S1.p2.1.m1.2.3.2.1" xref="S1.p2.1.m1.2.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S1.p2.1.m1.2.3.2.3" xref="S1.p2.1.m1.2.3.2.3.cmml">10</mn></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S3.F1.7.m3.4.5" xref="S3.F1.7.m3.4.5.cmml"><mrow id="S3.F1.7.m3.4.5.2" xref="S3.F1.7.m3.4.5.2.cmml"><msub id="S3.F1.7.m3.4.5.2.2" xref="S3.F1.7.m3.4.5.2.2.cmml"><mi id="S3.F1.7.m3.4.5.2.2.2" xref="S3.F1.7.m3.4.5.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="S3.F1.7.m3.4.5.2.2.3" xref="S3.F1.7.m3.4.5.2.2.3.cmml">init</mi></msub><mo id="S3.F1.7.m3.4.5.2.1" xref="S3.F1.7.m3.4.5.2.1.cmml">/</mo><msub id="S3.F1.7.m3.4.5.2.3" xref="S3.F1.7.m3.4.5.2.3.cmml"><mi id="S3.F1.7.m3.4.5.2.3.2" xref="S3.F1.7.m3.4.5.2.3.2.cmml">V</mi><mi id="S3.F1.7.m3.4.5.2.3.3" xref="S3.F1.7.m3.4.5.2.3.3.cmml">Kepler</mi></msub></mrow><mo id="S3.F1.7.m3.4.5.1" xref="S3.F1.7.m3.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.F1.7.m3.4.5.3.2" xref="S3.F1.7.m3.4.5.3.1.cmml"><mn id="S3.F1.7.m3.1.1" xref="S3.F1.7.m3.1.1.cmml">0.3</mn><mo id="S3.F1.7.m3.4.5.3.2.1" xref="S3.F1.7.m3.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.F1.7.m3.2.2" xref="S3.F1.7.m3.2.2.cmml">0.4</mn><mo id="S3.F1.7.m3.4.5.3.2.2" xref="S3.F1.7.m3.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.F1.7.m3.3.3" xref="S3.F1.7.m3.3.3.cmml">0.5</mn><mo id="S3.F1.7.m3.4.5.3.2.3" xref="S3.F1.7.m3.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.F1.7.m3.4.4" xref="S3.F1.7.m3.4.4.cmml">0.8</mn></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S3.F2.7.m1.1.1" xref="S3.F2.7.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.F2.7.m1.1.1.2" xref="S3.F2.7.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.F2.7.m1.1.1.2.2" xref="S3.F2.7.m1.1.1.2.2.cmml">M</mi><mi id="S3.F2.7.m1.1.1.2.3" xref="S3.F2.7.m1.1.1.2.3.cmml">init</mi></msub><mo id="S3.F2.7.m1.1.1.1" xref="S3.F2.7.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.F2.7.m1.1.1.3" xref="S3.F2.7.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.F2.7.m1.1.1.3.2" xref="S3.F2.7.m1.1.1.3.2.cmml">16</mn><mo id="S3.F2.7.m1.1.1.3.1" xref="S3.F2.7.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.F2.7.m1.1.1.3.3" xref="S3.F2.7.m1.1.1.3.3.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S3.F2.7.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.F2.7.m1.1.1.3.3.2.cmml">M</mi><mo id="S3.F2.7.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.F2.7.m1.1.1.3.3.3.cmml">⊙</mo></msub></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S3.F2.9.m3.1.1" xref="S3.F2.9.m3.1.1.cmml"><mrow id="S3.F2.9.m3.1.1.2" xref="S3.F2.9.m3.1.1.2.cmml"><msub id="S3.F2.9.m3.1.1.2.2" xref="S3.F2.9.m3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.F2.9.m3.1.1.2.2.2" xref="S3.F2.9.m3.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="S3.F2.9.m3.1.1.2.2.3" xref="S3.F2.9.m3.1.1.2.2.3.cmml">init</mi></msub><mo id="S3.F2.9.m3.1.1.2.1" xref="S3.F2.9.m3.1.1.2.1.cmml">/</mo><msub id="S3.F2.9.m3.1.1.2.3" xref="S3.F2.9.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.F2.9.m3.1.1.2.3.2" xref="S3.F2.9.m3.1.1.2.3.2.cmml">V</mi><mi mathvariant="normal" id="S3.F2.9.m3.1.1.2.3.3" xref="S3.F2.9.m3.1.1.2.3.3.cmml">K</mi></msub></mrow><mo id="S3.F2.9.m3.1.1.1" xref="S3.F2.9.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.F2.9.m3.1.1.3" xref="S3.F2.9.m3.1.1.3.cmml">0.3</mn></mrow></math>, <math><mrow id="S3.F2.10.m4.1.1" xref="S3.F2.10.m4.1.1.cmml"><mrow id="S3.F2.10.m4.1.1.2" xref="S3.F2.10.m4.1.1.2.cmml"><msub id="S3.F2.10.m4.1.1.2.2" xref="S3.F2.10.m4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.F2.10.m4.1.1.2.2.2" xref="S3.F2.10.m4.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="S3.F2.10.m4.1.1.2.2.3" xref="S3.F2.10.m4.1.1.2.2.3.cmml">init</mi></msub><mo id="S3.F2.10.m4.1.1.2.1" xref="S3.F2.10.m4.1.1.2.1.cmml">/</mo><msub id="S3.F2.10.m4.1.1.2.3" xref="S3.F2.10.m4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.F2.10.m4.1.1.2.3.2" xref="S3.F2.10.m4.1.1.2.3.2.cmml">V</mi><mi mathvariant="normal" id="S3.F2.10.m4.1.1.2.3.3" xref="S3.F2.10.m4.1.1.2.3.3.cmml">K</mi></msub></mrow><mo id="S3.F2.10.m4.1.1.1" xref="S3.F2.10.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.F2.10.m4.1.1.3" xref="S3.F2.10.m4.1.1.3.cmml">0.5</mn></mrow></math>, <math><mrow id="S3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><msub id="S3.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p1.2.m2.1.1.2.2.2" xref="S3.p1.2.m2.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="S3.p1.2.m2.1.1.2.2.3" xref="S3.p1.2.m2.1.1.2.2.3.cmml">init</mi></msub><mo id="S3.p1.2.m2.1.1.2.1" xref="S3.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">/</mo><msub id="S3.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.p1.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S3.p1.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">V</mi><mi mathvariant="normal" id="S3.p1.2.m2.1.1.2.3.3" xref="S3.p1.2.m2.1.1.2.3.3.cmml">K</mi></msub></mrow><mo id="S3.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mpadded width="+3.3pt" id="S3.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mn id="S3.p1.2.m2.1.1.3.2a" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">0.3</mn></mpadded><mo rspace="5.8pt" id="S3.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">&</mo><mn id="S3.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">0.4</mn></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S3.p1.4.m4.1.1" xref="S3.p1.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="S3.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><msub id="S3.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="S3.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p1.4.m4.1.1.2.2.2" xref="S3.p1.4.m4.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="S3.p1.4.m4.1.1.2.2.3" xref="S3.p1.4.m4.1.1.2.2.3.cmml">init</mi></msub><mo id="S3.p1.4.m4.1.1.2.1" xref="S3.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml">/</mo><msub id="S3.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="S3.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.p1.4.m4.1.1.2.3.2" xref="S3.p1.4.m4.1.1.2.3.2.cmml">V</mi><mi mathvariant="normal" id="S3.p1.4.m4.1.1.2.3.3" xref="S3.p1.4.m4.1.1.2.3.3.cmml">K</mi></msub></mrow><mo id="S3.p1.4.m4.1.1.1" xref="S3.p1.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mpadded width="+3.3pt" id="S3.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml"><mn id="S3.p1.4.m4.1.1.3.2a" xref="S3.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">0.5</mn></mpadded><mo rspace="5.8pt" id="S3.p1.4.m4.1.1.3.1" xref="S3.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml">&</mo><mn id="S3.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml">0.8</mn></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S3.F3.6.m2.2.3" xref="S3.F3.6.m2.2.3.cmml"><mrow id="S3.F3.6.m2.2.3.1" xref="S3.F3.6.m2.2.3.1.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S3.F3.6.m2.2.3.1.2" xref="S3.F3.6.m2.2.3.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S3.F3.6.m2.2.3.1.1" xref="S3.F3.6.m2.2.3.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.F3.6.m2.2.3.1.3" xref="S3.F3.6.m2.2.3.1.3.cmml"><mi id="S3.F3.6.m2.2.3.1.3.2" xref="S3.F3.6.m2.2.3.1.3.2.cmml">M</mi><mi id="S3.F3.6.m2.2.3.1.3.3" xref="S3.F3.6.m2.2.3.1.3.3.cmml">He</mi></msub></mrow><mrow id="S3.F3.6.m2.2.2.2.2" xref="S3.F3.6.m2.2.2.2.2b.cmml"><mpadded depth="+4.0pt" height="-4.0pt" voffset="-4.0pt" width="0.0pt" id="S3.F3.6.m2.2.2.2.2b" xref="S3.F3.6.m2.2.2.2.2b.cmml"><mo id="S3.F3.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S3.F3.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">∼</mo></mpadded><mo id="S3.F3.6.m2.2.2.2.2.2.m1.1.1" xref="S3.F3.6.m2.2.2.2.2.2.m1.1.1.cmml">></mo></mrow><mrow id="S3.F3.6.m2.2.3.2" xref="S3.F3.6.m2.2.3.2.cmml"><mn id="S3.F3.6.m2.2.3.2.2" xref="S3.F3.6.m2.2.3.2.2.cmml">2.0</mn><mo id="S3.F3.6.m2.2.3.2.1" xref="S3.F3.6.m2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.F3.6.m2.2.3.2.3" xref="S3.F3.6.m2.2.3.2.3.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S3.F3.6.m2.2.3.2.3.2" xref="S3.F3.6.m2.2.3.2.3.2.cmml">M</mi><mo id="S3.F3.6.m2.2.3.2.3.3" xref="S3.F3.6.m2.2.3.2.3.3.cmml">⊙</mo></msub></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S3.p2.1.m1.2.3" xref="S3.p2.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.1.m1.2.3.1" xref="S3.p2.1.m1.2.3.1.cmml">Z</mi><mrow id="S3.p2.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.p2.1.m1.2.2.2.2b.cmml"><mpadded depth="+4.0pt" height="-4.0pt" voffset="-4.0pt" width="0.0pt" id="S3.p2.1.m1.2.2.2.2a" xref="S3.p2.1.m1.2.2.2.2b.cmml"><mo id="S3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">∼</mo></mpadded><mo id="S3.p2.1.m1.2.2.2.2.2.m1.1.1" xref="S3.p2.1.m1.2.2.2.2.2.m1.1.1.cmml">></mo></mrow><mrow id="S3.p2.1.m1.2.3.2" xref="S3.p2.1.m1.2.3.2.cmml"><msub id="S3.p2.1.m1.2.3.2.2" xref="S3.p2.1.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.1.m1.2.3.2.2.2" xref="S3.p2.1.m1.2.3.2.2.2.cmml">Z</mi><mo id="S3.p2.1.m1.2.3.2.2.3" xref="S3.p2.1.m1.2.3.2.2.3.cmml">⊙</mo></msub><mo id="S3.p2.1.m1.2.3.2.1" xref="S3.p2.1.m1.2.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p2.1.m1.2.3.2.3" xref="S3.p2.1.m1.2.3.2.3.cmml">10</mn></mrow></mrow></math>

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1711.00429

Formulas:

1-

n - \frac{1}{42} \ln n

2-

\leq (n - 1) / 16

3-

n - \frac{1}{42} \ln n

4-

\leq n - \frac{1}{85} \ln n

5-

\leq (n - 1) / 16

6-

⌊ \frac{1}{84} \ln n ⌋

7-

n^{'} = n + ⌊ \frac{1}{84} \ln n ⌋

8-

\leq n \leq n^{'} - \frac{1}{85} \ln n^{'}

9-

n^{'} - 2 (n^{'} - n) \geq n - \frac{1}{42} \ln n

10-

n - \frac{1}{42} \ln n

Formulas (html):

Correct Categorie: math

Guessed Categorie: math

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1610.04684

Formulas:

1-

{}_{a}^{A G N I}

2-

{}_{a}^{A G N I}

3-

{}_{a}^{D F T}

4-

{}_{a}^{A G N I}

5-

{}_{a}^{D F T}

6-

V_{i}^{u} (η) = \sum_{j \neq i} \frac{r_{i j}^{u}}{r_{i j}} \cdot e^{- {(\frac{r_{i j}}{η})}^{2}} \cdot f_{d} (r_{i j}) .

7-

|| 𝐫_{j} - 𝐫_{i} ||

8-

f_{d} (r_{i j}) = 0.5 [\cos (\frac{π r_{i j}}{R_{c}}) + 1]

9-

{}_{a}^{A G N I}

10-

{}_{a}^{D F T}

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1103.5648

Formulas:

1-

⟨ k T ⟩ \sim

2-

⟨ k T ⟩ \sim

3-

\sim 3^{\circ} \times 3^{\circ}

4-

E (B - V) = 0.08

5-

\sim 31^{\circ} 01^{'}

6-

\sim 31^{\circ} 01^{'}

7-

n o r m

8-

τ = n_{e} t

9-

χ_{r e d}^{2} < 2

10-

χ_{r e d}^{2} < 2

Formulas (html):

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Run 16446892 (Agent672)