Run 13047562

Paper: https://arxiv.org/abs/cond-mat/0401267

Formulas:

1-

μ \sum_{i} f_{i} \int 𝑑 𝐫 {| {\dot{Ψ}}_{i} (𝐫) |}^{2} + \frac{1}{2} \sum_{I} M_{I} {\dot{𝐑}}_{I}^{2} -

2-

E_{K S} [{Ψ_{i}}, 𝐑_{I}] +

3-

\sum_{i j} Λ_{i j} (\int 𝑑 𝐫 Ψ_{i}^{*} (𝐫) Ψ_{j} (𝐫) - δ_{i j}) .

4-

Ψ_{i} (r)

5-

\int Ψ_{i}^{*} Ψ_{j} = δ_{i j}

6-

μ {\ddot{Ψ}}_{i} (𝐫, t) = - \frac{δ E}{δ Ψ_{i}^{*} (𝐫, t)} + \sum_{j} Λ_{i j} Ψ_{j} (𝐫, t)

7-

M_{I} {\ddot{𝐑}}_{I} = - \frac{\partial E}{\partial 𝐑_{I} (t)} .

8-

ω_{i j} = {[\frac{2 (ϵ_{j} - ϵ_{i})}{μ}]}^{1 / 2},

9-

k_{B} T \sim 200

10-

ℏ ω ≫ k_{B} T .

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1610.05488

Formulas:

1-

R_{h} = 37 ″

2-

f_{0} = 0.07597 (3)

3-

f_{0} = 0.06142 (3)

4-

Δ ϕ_{B - R} = ϕ_{B} - ϕ_{R}

5-

Δ ϕ_{V - R} = ϕ_{V} - ϕ_{R}

6-

B V R I

7-

Δ ϕ_{B - R} = 0.055

8-

Δ ϕ_{V - R} = 0.035

9-

{(B - V)}_{§}

10-

{(B - V)}_{§}

Formulas (html):

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/astro-ph/0606032

Formulas:

1-

K = L_{39} / D_{10} = 1

2-

l o g (T) = 5.3656

3-

n o r m = 1

4-

l o g (T) = 5.0

5-

l o g (T) = 5.35726

6-

n o r m = 1.00460

7-

l o g (T) = 5.36386

8-

n o r m = 0.99297

9-

l o g (T) = 5.33856

10-

n o r m = 1.04767

Formulas (html):

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/cond-mat/0104441

Formulas:

1-

𝐟_{i} = η 𝐯_{i} = 𝐟_{i}^{v v} + 𝐟_{i}^{v p} + 𝐟_{i}^{T}

2-

𝐟_{i}^{v v} = \sum_{j = 1}^{N_{v}} f_{0} K_{1} (| 𝐫_{i} - 𝐫_{j} | / λ) {\hat{𝐫}}_{i j}

3-

K_{1} (r / λ)

4-

𝐟_{i}^{v p} = - \sum_{k = 1}^{N_{p}} (f_{p} / r_{p}) (| 𝐫_{i} - 𝐫_{k}^{(p)} |) Θ (r_{p} - | 𝐫_{i} - 𝐫_{k}^{(p)} |) {\hat{𝐫}}_{i k}^{(p)}

5-

{\hat{𝐫}}_{i j} = (𝐫_{i} - 𝐫_{j}) / | 𝐫_{i} - 𝐫_{j} |

6-

{\hat{𝐫}}_{i k}^{(p)} = (𝐫_{i} - 𝐫_{k}^{(p)}) / | 𝐫_{i} - 𝐫_{k}^{(p)} |

7-

< f_{i}^{T} (t) > = 0

8-

< f_{i}^{T} (t) f_{j}^{T} (t^{^{'}}) > = 2 η k_{B} T δ_{i j} δ (t - t^{^{'}})

9-

η = k_{B} = 1

10-

0.25 Φ_{0} / λ^{2}

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/2002.09388

Formulas:

1-

S L (2, ℤ)

2-

𝔤 = s l (2, ℂ)

3-

\hat{𝔤} = 𝔤 \otimes ℂ [z, z^{- 1}],

4-

f : ℂ^{*} \to 𝔤,

5-

ℂ^{*} = ℂ ∖ 0

6-

z \frac{d}{d z}

7-

f : ℂ^{*} \to 𝔤,

8-

f (ε z) = σ f (z), ε^{n} = 1,

9-

{\hat{𝔤}}^{σ} ≅ 𝔤 \otimes ℂ [z, z^{- 1}] .

10-

𝔤 = s l (2, ℂ)

Formulas (html):

Correct Categorie: math

Guessed Categorie: math

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1704.09016

Formulas:

1-

F I (P, R)

2-

F I (P, R)

3-

I (P, R)

4-

| P | = n < \infty

5-

I (P, R)

6-

M_{n} (R)

7-

I (P, R)

8-

M_{n} (R)

9-

T_{n} (R)

10-

I (P, R)

Formulas (html):

Correct Categorie: math

Guessed Categorie: math

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/0801.3217

Formulas:

1-

ℋ_{XXZ} = J \sum_{i, j} [Δ (S_{i}^{x} S_{j}^{x} + S_{i}^{y} S_{j}^{y}) + S_{i}^{z} S_{j}^{z}] - H \sum_{i} S_{i}^{z}

2-

ℋ_{D} = ℋ_{XXZ} + D \sum_{i} {(S_{i}^{z})}^{2}

3-

ℋ_{XY} = J \sum_{i, j} [S_{i}^{x} S_{j}^{x} + Δ S_{i}^{y} S_{j}^{y}] - H \sum_{i} S_{i}^{x}

4-

S_{A}^{z} = \cos Θ_{A}

5-

S_{B}^{z} = \cos Θ_{B}

6-

H < H_{c 1}

7-

H > H_{c 2}

8-

D > - 2 Δ J

9-

H_{c 1} = 2 \sqrt{{(2 J)}^{2} - {(2 J Δ + D)}^{2}}

10-

H_{c 2} = 4 J (1 + Δ) + 2 D

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/astro-ph/0112103

Formulas:

1-

λ_{c} = 1.625 μ

2-

Δ λ = 0.36 μ

3-

λ_{c} = 1.630 μ

4-

Δ λ = 0.31 μ

5-

\pm 0 \overset{\circ}{.} 1

6-

Δ K_{S a - b} = 2.61 \pm 0.24

7-

Δ H_{S a - b} = 1.47 \pm 0.05

8-

Δ (H - K) \geq 0.5

9-

0 \overset{''}{.} 082 \pm 0.023

10-

\sim 0 \overset{''}{.} 15

Formulas (html):

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/0704.0216

Formulas:

1-

\sqrt{3} \times \sqrt{3} R 30^{\circ}

2-

6 \sqrt{3} \times 6 \sqrt{3} R 30^{\circ}

3-

\sqrt{3} \times \sqrt{3} R 30^{\circ}

4-

\sqrt{3} \times \sqrt{3} R 30^{\circ}

5-

\sqrt{3} \times \sqrt{3} R 30^{\circ}

6-

6 \sqrt{3} \times 6 \sqrt{3} R 30^{\circ}

7-

6 \sqrt{3} \times 6 \sqrt{3}

8-

\sqrt{3} \times \sqrt{3} R 30^{\circ}

9-

\sqrt{3} \times \sqrt{3} R 30^{\circ}

10-

\sqrt{3} \times \sqrt{3} R 30^{\circ}

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/nlin/0608056

Formulas:

1-

𝐁 = B \hat{𝐳}

2-

a_{0} = ℏ = e = μ = 1

3-

\frac{1}{2} (p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}) - \frac{1}{2} B (x p_{y} - y p_{x})

4-

- \frac{1}{r} + \frac{1}{8} B^{2} (x^{2} + y^{2})

5-

+ F (x \cos ω t + α y \sin ω t),

6-

r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

7-

α \in [0, 1]

8-

z = 0, p_{z} = 0

9-

S (\bar{x}, \bar{y}, p_{x}, p_{y})

10-

- (\bar{x} \cos ω t - \bar{y} \sin ω t) p_{x}

Formulas (html):

Correct Categorie: nlin

Guessed Categorie: hep-lat

Result: incorrect

Paper: https://arxiv.org/abs/1501.04127

Formulas:

1-

ρ_{ψ} (λ)

2-

ρ_{ψ} (λ) \geq 0

3-

\int ρ_{ψ} (λ) 𝑑 λ = 1 for all ψ .

4-

ρ_{ψ} (λ)

5-

P_{A | B C Y Z} = P_{A}, P_{B | A C X Z} = P_{B}, P_{C | A B X Y} = P_{C},

6-

P_{A | B λ} = P_{A}, P_{B | A λ} = P_{B},

7-

P_{A B λ} = P_{A} P_{B} P_{λ}

8-

P_{X | A B} = P_{X | A}, P_{Y | A B} = P_{Y | B} .

9-

F R \Rightarrow N S

10-

P_{C Z | A B X Y} = P_{C Z}

Formulas (html):

Correct Categorie: quant-ph

Guessed Categorie: quant-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1602.06796

Formulas:

1-

⟨ f, r ∣ f^{2} = r^{6} = {(f r)}^{2} = e ⟩

2-

⟨ e ⟩ < ⟨ r^{a} ⟩ < ⟨ r ⟩ < ⟨ f, r ⟩

3-

a \in {2, 3}

4-

⟨ e ⟩ < ⟨ r^{a} ⟩ < ⟨ f r^{b}, r^{a} ⟩ < ⟨ f, r ⟩

5-

a \in {2, 3}

6-

b \in {0, 1}

7-

⟨ e ⟩ < ⟨ f r^{a} ⟩ < ⟨ f r^{a mod b}, r^{b} ⟩ < ⟨ f, r ⟩

8-

a \in {0, 1}

9-

b \in {2, 3}

10-

g \leq ⟨ f, r ⟩

Formulas (html):

Correct Categorie: math

Guessed Categorie: math

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1208.2541

Formulas:

1-

T_{c} = 2.4 K

2-

e_{𝒌} \equiv \sum_{n} \cos 𝒌 \cdot 𝑻_{n}

3-

e_{𝒌}^{+} \equiv \sum_{n} ω^{n} \cos 𝒌 \cdot 𝑻_{n}

4-

o_{𝒌} \equiv \sum_{n} \sin 𝒌 \cdot 𝑻_{n}

5-

o_{𝒌}^{+} \equiv \sum_{n} ω^{n} \sin 𝒌 \cdot 𝑻_{n}

6-

e_{𝒌}^{-} = e_{𝒌}^{+ *}

7-

o_{𝒌}^{-} = o_{𝒌}^{+ *}

8-

𝑻_{n = 1, 2, 3}

9-

ω^{n} = \exp [2 n π i / 3]

10-

{\hat{Δ}}_{𝒌 l}^{Γ, m} = i {\hat{σ}}_{y} ψ_{𝒌 l}^{Γ, m}

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1308.4591

Formulas:

1-

E (k^{'}) = ℏ v_{F} k^{'} = β k^{'}

2-

{⟨ g_{q}^{2} ⟩}_{𝙵}

3-

{⟨ g_{Γ}^{2} ⟩}_{𝙵}

4-

{⟨ g_{K}^{2} ⟩}_{𝙵}

5-

\frac{{⟨ g_{K}^{2} ⟩}_{𝙵} ω_{K}}{{⟨ g_{Γ}^{2} ⟩}_{𝙵} ω_{Γ}}

6-

g_{(𝐤 + 𝐪) m, 𝐤 n}^{ν} = \sqrt{\frac{ℏ}{2 M ω_{𝐪}^{ν}}} ⟨ m 𝐤 + 𝐪 | \frac{δ V_{s c f}}{δ u_{𝐪}^{ν}} | n 𝐤 ⟩,

7-

δ V_{s c f} \equiv V_{s c f} (u_{𝐪}^{ν}) - V_{s c f} (0)

8-

{⟨ g_{q}^{2} ⟩}_{F} = \sum_{i, j}^{π} {| g_{(K + q) i, K j} |}^{2} / 4

9-

{⟨ g_{K}^{2} ⟩}_{F} = \sum_{i, j}^{π} {| g_{(2 K) i, K j} |}^{2} / 4

10-

{⟨ g_{Γ}^{2} ⟩}_{F} = \sum_{i, j}^{π} {| g_{K i, K j} |}^{2} / 4

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/cond-mat/9503094

Formulas:

1-

ρ_{i i^{'}} = \sum_{j} ψ_{0, i j} ψ_{0, i^{'} j}

2-

ψ_{0, i j} = ⟨ i \otimes j | ψ_{0} ⟩

3-

ρ_{i i^{'}} = \sum_{l} p_{l} \sum_{j} ϕ_{l, i j} ϕ_{l, i^{'} j}

4-

C_{A} (t - t^{'}) = ⟨ ψ_{0} | A^{†} (t) A (t^{'}) | ψ_{0} ⟩,

5-

C_{A} (ω) = \sum_{n} {| ⟨ ψ_{n} | A | ψ_{0} ⟩ |}^{2} δ (ω - (E_{n} - E_{0})),

6-

G_{A} (z) = ⟨ ψ_{0} | A^{†} {(z - H)}^{- 1} A | ψ_{0} ⟩,

7-

C_{A} (ω)

8-

C_{A} (ω) = - \frac{1}{π} lim_{η \to 0^{+}} Im G_{A} (ω + i η + E_{0}) .

9-

G_{A} (z) = \frac{⟨ ψ_{0} | A^{†} A | ψ_{0} ⟩}{z - a_{0} - \frac{b_{1}^{2}}{z - a_{1} - \frac{b_{2}^{2}}{z - \dots}}}

10-

| f_{n + 1} ⟩ = H | f_{n} ⟩ - a_{n} | f_{n} ⟩ - b_{n}^{2} | f_{n - 1} ⟩

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: quant-ph

Result: incorrect

Paper: https://arxiv.org/abs/cond-mat/0603358

Formulas:

1-

\vec{S} = P_{1} P_{2}

2-

(\hat{n}, \hat{t})

3-

\hat{t} = \vec{S} / | \vec{S} |

4-

{\vec{f}}^{c} = - k_{n} δ \hat{n} - k_{t} ξ \hat{t}

5-

δ = a / | \vec{S} |

6-

ξ = ξ^{'} + {\vec{v}}_{t}^{c} Δ t_{M D},

7-

Δ t_{M D}

8-

{\vec{v}}^{c} = {\vec{v}}_{i} - {\vec{v}}_{j} - {\vec{w}}_{i} \times {\vec{l}}_{i} + {\vec{w}}_{j} \times {\vec{l}}_{j} .

9-

| f_{t}^{c} | < μ f_{n}^{c}

10-

| f_{t}^{c} | = μ f_{n}^{c}

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/2009.04771

Formulas:

1-

\sim 50 - 135 M_{⊙}

2-

m_{1}, m_{2} ≲ 50 M_{⊙}

3-

𝒪 (5 %)

4-

m_{1} = 85_{- 14}^{+ 21} M_{⊙}

5-

m_{2} = 66_{- 18}^{+ 17} M_{⊙}

6-

\ln ℬ_{S / N} = 85.7

7-

- {0.7}_{- 0.5}^{+ 1.4}

8-

- {0.7}_{- 0.4}^{+ 1.5}

9-

- {0.8}_{- 0.4}^{+ 1.5}

10-

- {0.9}_{- 0.3}^{+ 1.6}

Formulas (html):

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1110.5749

Formulas:

1-

⟨ O ⟩ = \frac{\int O (x) e^{- S (x)} 𝑑 x}{\int e^{- S (x)} 𝑑 x},

2-

\frac{d x}{d t} = K_{x} + \sqrt{N_{R}} η_{R}, \frac{d y}{d t} = K_{y} + \sqrt{N_{I}} η_{I},

3-

x \to z = x + i y

4-

K_{x} = {Re \frac{d S (x)}{d x} |}_{x \to x + i y}, K_{y} = {Im \frac{d S (x)}{d x} |}_{x \to x + i y},

5-

N_{R} - N_{I} = 1

6-

P (x, y; t)

7-

\frac{\partial}{\partial t} P (x, y; t) = L^{T} P (x, y; t),

8-

L^{T} = \nabla_{x} [N_{R} \nabla_{x} - K_{x}] + \nabla_{y} [N_{I} \nabla_{y} - K_{y}] .

9-

P (x, y; t)

10-

ρ (x; t)

Formulas (html):

Correct Categorie: hep-lat

Guessed Categorie: hep-lat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/0712.2930

Formulas:

1-

f (c o n t)

2-

f (N_{t})

3-

f (c o n t)

4-

f (N_{t})

5-

T^{4} / (m^{2} Δ χ)

6-

(T_{c}^{3} V)

7-

χ = (T / V) \cdot (\partial^{2} \log Z / \partial m_{u d}^{2})

8-

\cdot [\log Z (N_{s}, N_{t}) / (N_{t} N_{s}^{3}) - \log Z (N_{s 0}, N_{t 0}) / (N_{t 0} N_{s 0}^{3})]

9-

m_{u d}^{2} [χ (N_{s}, N_{t}) - χ (N_{s 0}, N_{t 0})]

10-

m^{2} Δ χ_{\bar{ψ} ψ} / T^{4}

Formulas (html):

Correct Categorie: hep-lat

Guessed Categorie: hep-ph

Result: incorrect

Paper: https://arxiv.org/abs/quant-ph/0004050

Formulas:

1-

C^{\infty} (𝐑)

2-

ϕ (a) = ⟨ π_{ϕ} (a) ξ_{ϕ} | ξ_{ϕ} ⟩, \forall a \in A,

3-

C^{\infty} (𝐑)

4-

C^{\infty} (𝐑)

5-

\nabla_{t} \in Der (P (𝐑))

6-

\nabla_{t} (f α) = \partial_{t} f α + f \nabla_{t} α, α \in P (𝐑), f \in C^{\infty} (𝐑) .

7-

\nabla_{t} (α) = [\partial_{t} - δ (t)] (α),

8-

δ_{t} (a b) = δ_{t} (a) b + a δ_{t} (b), δ_{t} (a^{*}) = δ_{t} {(a)}^{*} .

9-

\nabla_{t} (α) = [\partial_{t} - δ (t)] (α) = 0 .

10-

δ (t) = δ

Formulas (html):

Correct Categorie: quant-ph

Guessed Categorie: math

Result: incorrect

Paper: https://arxiv.org/abs/0811.0455

Formulas:

1-

H_{i}^{s} = I ω = k^{2} R_{i}^{2} M_{i} ω_{i},

2-

H_{t}^{o} = M_{1} M_{2} \sqrt{\frac{G a (1 - e^{2})}{M}} = 111 q {(1 + q)}^{- 2} {(\frac{M_{t}}{M_{⊙}})}^{- 5 / 3} {(\frac{P}{day})}^{1 / 3} \sqrt{1 - e^{2}} (M_{⊙} R_{⊙}^{2} / day)

3-

q = \frac{M_{2}}{M_{1}}

4-

v_{e} = 10^{14} \times f \times t_{0}^{- 0.5}

5-

{(\frac{d H}{d t})}_{MSW} = - 1.6 \times 10^{- 30} M_{2} R_{2}^{4} ω^{3} .

6-

τ_{M S W} = 14 {(\frac{M}{M_{⊙}})}^{2 / 3} {(\frac{R_{2}}{R_{⊙}})}^{- 4} {(\frac{P}{day})}^{10 / 3} {(1 + q)}^{- 1} {(1 - e^{2})}^{1 / 2} \times Gyr .

7-

R_{2} = R_{L} = a \frac{0.49 q^{2 / 3}}{0.6 q^{2 / 3} + \ln (1 + q^{1 / 3})} .

8-

R = M^{0.97} for M_{2} \leq 0.5 M_{⊙} and R = M^{1.11} for 0.5 M_{⊙} < M_{2} \leq 1.5 M_{⊙}

9-

r = \frac{a (e^{2} - 1)}{1 + e \cos ν} and E = \frac{- G M_{1} M_{2}}{2 a} .

10-

\frac{d a}{d t} = - \frac{64}{5} \frac{G^{3}}{c^{5}} \frac{M_{1} M_{2}}{a^{3}} (M_{1} + M_{2}),

Formulas (html):

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: cs

Result: incorrect

Paper: https://arxiv.org/abs/astro-ph/0305133

Formulas:

1-

L_{x} ≃ 3.4 \times 10^{33}

2-

L_{x} ≃ 6 \times 10^{32}

3-

T \sim 10^{7} - 10^{8}

4-

\dot{M} = 1 \times 10^{- 6}

5-

L_{x} / L_{w} \sim 10^{- 5}

6-

L_{x} ≃ 6 \times 10^{35}

7-

T ≃ 2 \times 10^{7}

8-

L_{x} ≃ 2 \times 10^{35}

9-

T \sim 10^{6} - 10^{7}

10-

(l, b) = (15.1, - 0.7)

Formulas (html):

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/0911.0809

Formulas:

1-

d σ_{W^{\pm}} / d y

2-

u_{I P} (x) = {\bar{u}}_{I P} (x) = d_{I P} (x) = {\bar{d}}_{I P} (x) = s_{I P} (x) = {\bar{s}}_{I P} (x) = \dots \equiv q_{I P} (x) .

3-

\frac{d σ_{W^{+}}}{d y}

4-

(u_{p} (x_{1}) + {\bar{d}}_{p} (x_{1})) q_{I P} (x_{2} / x_{I P})

5-

\frac{d σ_{W^{-}}}{d y}

6-

(d_{p} (x_{1}) + {\bar{u}}_{p} (x_{1})) q_{I P} (x_{2} / x_{I P}),

7-

x_{1} = \frac{M_{W}}{\sqrt{s}} e^{y}

8-

x_{2} = x_{I P} β = \frac{M_{W}}{\sqrt{s}} e^{- y}

9-

x_{I P} = M_{D}^{2} / s

10-

0 < x_{I P}, β < 1

Formulas (html):

Correct Categorie: hep-ph

Guessed Categorie: hep-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1101.1306

Formulas:

1-

Φ_{disk} (R, z) = - \frac{G M_{d}}{\sqrt{R^{2} + {(a_{d} + \sqrt{z^{2} + b_{d}^{2}})}^{2}}},

2-

M_{d} = 1.0 \times 10^{11}

3-

Φ_{bulge} = - \frac{G M_{b}}{r + a_{b}},

4-

M_{b} = 3.4 \times 10^{10}

5-

Φ_{halo} (r) = \frac{1}{2} v_{0}^{2} \ln (r^{2} + r_{halo}^{2}),

6-

M^{SC} = 0.05 \times M^{CC}

7-

α = \frac{R_{p l}^{S C}}{R_{p l}^{C C}},

8-

β = \frac{R_{c u t}^{C C}}{r_{t}^{C C}}

9-

Φ_{pl}^{CC} (r) = - G \frac{M^{CC}}{R_{pl}^{CC} \sqrt{{(1 + \frac{r}{R_{pl}^{CC}})}^{2}}},

10-

M_{V} = M_{V, solar} - 2.5 \times \log (M_{encl} \frac{L_{V}}{M}),

Formulas (html):

<math><mrow id="S2.E1.m1.4.4.1" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.4.4.1.1" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E1.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S2.E1.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="S2.E1.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">disk</mi></msub><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml"><mo stretchy="false" id="S2.E1.m1.4.4.1.1.2.3.2.1" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.2.2" xref="S2.E1.m1.2.2.cmml">R</mi><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E1.m1.3.3" xref="S2.E1.m1.3.3.cmml">z</mi><mo stretchy="false" id="S2.E1.m1.4.4.1.1.2.3.2.3" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E1.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">-</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E1.m1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E1.m1.1.1a" xref="S2.E1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.1.1.3.cmml"><mpadded width="+1.7pt" id="S2.E1.m1.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.3.2a" xref="S2.E1.m1.1.1.3.2.cmml">G</mi></mpadded><mo id="S2.E1.m1.1.1.3.1" xref="S2.E1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E1.m1.1.1.3.3" xref="S2.E1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.E1.m1.1.1.3.3.2.cmml">M</mi><mi mathvariant="normal" id="S2.E1.m1.1.1.3.3.3" xref="S2.E1.m1.1.1.3.3.3.cmml">d</mi></msub></mrow><msqrt id="S2.E1.m1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><msup id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo stretchy="false" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">a</mi><mi mathvariant="normal" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msqrt id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msup id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">z</mi><mn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><msubsup id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">b</mi><mi mathvariant="normal" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">d</mi><mn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></msqrt></mrow><mo stretchy="false" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></msqrt></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.2" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow></math>, <math><mrow id="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">M</mi><mi mathvariant="normal" id="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">1.0</mn><mo id="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">×</mo><msup id="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">10</mn><mn id="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S2.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">11</mn></msup></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">bulge</mi></msub><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">-</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2a" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mpadded width="+1.7pt" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2.2a" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">G</mi></mpadded><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">M</mi><mi mathvariant="normal" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">b</mi></msub></mrow><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">+</mo><msub id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">a</mi><mi mathvariant="normal" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">b</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></math>, <math><mrow id="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1.2.2.cmml">M</mi><mi mathvariant="normal" id="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1.2.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1.3.2.cmml">3.4</mn><mo id="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1.3.1" xref="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1.3.1.cmml">×</mo><msup id="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1.3.3.2.cmml">10</mn><mn id="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1.3.3.3" xref="S2.SS2.SSS1.p2.5.m1.1.1.3.3.3.cmml">10</mn></msup></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S2.E3.m1.2.2.1" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.2.2.1.1" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E3.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S2.E3.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="S2.E3.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">halo</mi></msub><mo id="S2.E3.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo stretchy="false" id="S2.E3.m1.2.2.1.1.3.3.2.1" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E3.m1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.cmml">r</mi><mo stretchy="false" id="S2.E3.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mpadded width="+1.7pt" id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.3a" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.3b" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mpadded><mo id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mpadded width="+1.7pt" id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.4" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.4.cmml"><msubsup id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.4a" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.4.2.2" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.4.2.2.cmml">v</mi><mn id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.4.2.3" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.4.2.3.cmml">0</mn><mn id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.4.3" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msubsup></mpadded><mo id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.2a" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.5" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.5.cmml">ln</mi><mo id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.2b" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo stretchy="false" id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">r</mi><mn id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">r</mi><mi id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">halo</mi><mn id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo stretchy="false" id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.2.2.1.2" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow></math>, <math><mrow id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml">M</mi><mi id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml">SC</mi></msup><mo id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.1" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml">0.05</mn><mo id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml">×</mo><msup id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">M</mi><mi id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">CC</mi></msup></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S3.E4.m1.1.1.1" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.m1.1.1.1.1" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3a" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">l</mi></mrow><mrow id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">S</mi><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">C</mi></mrow></msubsup><msubsup id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">l</mi></mrow><mrow id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">C</mi><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">C</mi></mrow></msubsup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S3.E4.m1.1.1.1.2" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></math>, <math><mrow id="S3.E5.m1.1.1" xref="S3.E5.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.E5.m1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="S3.E5.m1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E5.m1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E5.m1.1.1.3a" xref="S3.E5.m1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.E5.m1.1.1.3.2" xref="S3.E5.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E5.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">R</mi><mrow id="S3.E5.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E5.m1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S3.E5.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">c</mi><mo id="S3.E5.m1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S3.E5.m1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E5.m1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S3.E5.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.E5.m1.1.1.3.2.2.3.1a" xref="S3.E5.m1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E5.m1.1.1.3.2.2.3.4" xref="S3.E5.m1.1.1.3.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mrow id="S3.E5.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.E5.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E5.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">C</mi><mo id="S3.E5.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E5.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E5.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E5.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">C</mi></mrow></msubsup><msubsup id="S3.E5.m1.1.1.3.3" xref="S3.E5.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E5.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">r</mi><mi id="S3.E5.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E5.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">t</mi><mrow id="S3.E5.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.E5.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E5.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">C</mi><mo id="S3.E5.m1.1.1.3.3.3.1" xref="S3.E5.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E5.m1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E5.m1.1.1.3.3.3.3.cmml">C</mi></mrow></msubsup></mfrac></mstyle></mrow></math>, <math><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">pl</mi><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">CC</mi></msubsup><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo stretchy="false" id="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.3.2.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E6.m1.2.2" xref="S3.E6.m1.2.2.cmml">r</mi><mo stretchy="false" id="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.3.2.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">-</mo><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">G</mi><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E6.m1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.E6.m1.1.1a" xref="S3.E6.m1.1.1.cmml"><msup id="S3.E6.m1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.1.1.3.2" xref="S3.E6.m1.1.1.3.2.cmml">M</mi><mi id="S3.E6.m1.1.1.3.3" xref="S3.E6.m1.1.1.3.3.cmml">CC</mi></msup><mrow id="S3.E6.m1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E6.m1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E6.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.3.2.3.cmml">pl</mi><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.3.3.cmml">CC</mi></msubsup><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msqrt id="S3.E6.m1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo stretchy="false" id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mfrac id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><msubsup id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">R</mi><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">pl</mi><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">CC</mi></msubsup></mfrac></mrow><mo stretchy="false" id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></msqrt></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.2" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow></math>, <math><mrow id="S3.E7.m1.4.4.1" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.m1.4.4.1.1" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.cmml"><msub id="S3.E7.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">M</mi><mi mathvariant="normal" id="S3.E7.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">V</mi></msub><mo id="S3.E7.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">M</mi><mrow id="S3.E7.m1.2.2.2.4" xref="S3.E7.m1.2.2.2.3.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S3.E7.m1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.cmml">V</mi><mo id="S3.E7.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E7.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E7.m1.2.2.2.2" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.cmml">solar</mi></mrow></msub><mo id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">-</mo><mrow id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">2.5</mn><mo id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mrow id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.3.3" xref="S3.E7.m1.3.3.cmml">log</mi><mo id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo stretchy="false" id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">M</mi><mi id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">encl</mi></msub><mo id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">L</mi><mi mathvariant="normal" id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">V</mi></msub><mi id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">M</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo stretchy="false" id="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E7.m1.4.4.1.2" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow></math>

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1407.7089

Formulas:

1-

U (x, y) = U (x + L, y)

2-

\frac{d x}{d t} = v_{0} \cos θ + μ F_{x} + \sqrt{2 D_{0}} ξ_{x} (t),

3-

\frac{d y}{d t} = v_{0} \sin θ + μ F_{y} + \sqrt{2 D_{0}} ξ_{y} (t),

4-

\frac{d θ}{d t} = \sqrt{2 D_{θ}} ξ_{θ} (t),

5-

F_{x} = - \frac{\partial U (x, y)}{\partial x}

6-

F_{y} = - \frac{\partial U (x, y)}{\partial y}

7-

ξ_{x, y} (t)

8-

⟨ ξ_{i} (t) ⟩

9-

⟨ ξ_{i} (t) ξ_{j} (s) ⟩

10-

δ_{i j} δ (t - s), i, j = x, y,

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: physics

Result: incorrect

Paper: https://arxiv.org/abs/cond-mat/9702021

Formulas:

1-

E_{c o n d}

2-

ℏ^{2} ω_{J}^{2} = η E_{c o n d} \frac{16 π d e^{2}}{a^{2}}

3-

E_{c o n d} \propto T_{c}^{2}

4-

E_{c o n d} = 80 μ

5-

ℏ^{2} ω_{J}^{2} = 4 π^{2} ℏ σ_{n} Δ (0)

6-

ω_{J} \approx 1500 {cm}^{- 1}

7-

ϵ_{c} = ϵ_{\infty} - \frac{ω_{J}^{2}}{ω^{2}} + \frac{4 π i}{ω} σ_{e} + \sum_{j} \frac{S_{j} ω_{j}^{2}}{ω_{j}^{2} - ω (ω + i / τ_{j})}

8-

R_{p} = {| \frac{Z_{0} - Z_{s}^{p}}{Z_{0} + Z_{s}^{p}} |}^{2}

9-

Z_{s}^{p} = \frac{Z_{0}}{n_{a b} \cos θ} \sqrt{1 - \frac{\sin^{2} θ}{ϵ_{c}}}

10-

n_{a b}^{2} = ϵ_{a b}

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/hep-lat/9608016

Formulas:

1-

[𝐕 - λ_{i} 𝐍] Ψ_{i} = 0,

2-

(\begin{matrix} 1 & f / N_{c} \\ f / N_{c} & 1 \end{matrix}) and

3-

(\begin{matrix} v_{13} + v_{24} & \frac{f}{N_{c}} V_{A B} \\ \frac{f}{N_{c}} V_{B A} & v_{14} + v_{23} \end{matrix}),

4-

V_{i j} = - 𝒩 (N_{c}) 𝐓_{𝐢} \cdot 𝐓_{𝐣} v_{i j}

5-

{[i j]}^{0}

6-

< {[i j]}^{0} | V_{i j} | {[i j]}^{0} > = v_{i j}

7-

E_{i} = λ_{i} - (v_{13} + v_{24}) .

8-

< A | B > = f / N_{c}

9-

S U (N_{c})

10-

\frac{f}{N_{c}} V_{A B}

Formulas (html):

Correct Categorie: hep-lat

Guessed Categorie: astro-ph

Result: incorrect

Paper: https://arxiv.org/abs/1303.3254

Formulas:

1-

a (x, y) u_{x x} + b (x, y) u_{x y} + c (x, y) u_{y y} = 0 in Ω,

2-

u \in W^{2, 2} (Ω)

3-

u \in C^{1, α} (Ω)

4-

α \in (0, 1)

5-

u \in C^{1, α} (Ω)

6-

α \in (0, 1)

7-

u \in C^{2} (Ω)

8-

𝟎 = (0, 0)

9-

a (𝟎) = 1 = c (𝟎)

10-

b (𝟎) = 0

Formulas (html):

Correct Categorie: math

Guessed Categorie: nlin

Result: incorrect

Paper: https://arxiv.org/abs/quant-ph/0312223

Formulas:

1-

{0} \subset C_{2} \subset C_{1} \subset ℤ_{2}^{n} .

2-

{(| ϕ^{+} ⟩ ⟨ ϕ^{+} |)}^{\otimes 2 n}

3-

| ϕ^{+} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩ | 0 ⟩ + | 1 ⟩ | 1 ⟩)

4-

σ_{a}^{[r]} = σ_{a}^{r_{1}} \otimes σ_{a}^{r_{2}} \otimes \dots σ_{a}^{r_{n}}

5-

a \in {x, z}

6-

r = (r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n})

7-

{(| ϕ^{+} ⟩ ⟨ ϕ^{+} |)}^{\otimes m}

8-

F (σ, τ) = tr (\sqrt{σ^{1 / 2} τ σ^{1 / 2}}),

9-

F (ρ_{A B}, {(| ϕ^{+} ⟩ ⟨ ϕ^{+} |)}^{\otimes m}) = \sqrt{{⟨ ϕ^{+} |}^{\otimes m} ρ_{A B} {| ϕ^{+} ⟩}^{\otimes m}} .

10-

| Φ_{d}^{+} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{d}} \sum_{j = 0}^{d - 1} | j ⟩ | j ⟩

Formulas (html):

Correct Categorie: quant-ph

Guessed Categorie: quant-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/astro-ph/0303370

Formulas:

1-

n_{ISM} \sim 1 {cm}^{- 3}

2-

Γ_{0} \sim 2 - 5

3-

ϵ_{e} ≃ 0.1 - 0.6

4-

ϵ_{B} ≃ 10^{- 6} - 0.1

5-

57 mas {day}^{- 1}

6-

1.1 \times 10^{- 14} {ergcm}^{- 2} s^{- 1}

7-

(Γ - 1) M_{0} c^{2} + σ (Γ_{sh}^{2} - 1) m_{sw} c^{2} = E_{0},

8-

m_{sw} = (4 / 3) π R^{3} m_{p} n (θ_{j}^{2} / 4)

9-

0.7 (Γ^{2} - 1) m_{sw} c^{2}

10-

\frac{d R}{d t} = \frac{β (Γ) c}{1 - β (Γ) \cos θ},

Formulas (html):

<math><mrow id="id2.1.m1.1.1" xref="id2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="id2.1.m1.1.1.2" xref="id2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="id2.1.m1.1.1.2.2" xref="id2.1.m1.1.1.2.2.cmml">n</mi><mi id="id2.1.m1.1.1.2.3" xref="id2.1.m1.1.1.2.3.cmml">ISM</mi></msub><mo id="id2.1.m1.1.1.1" xref="id2.1.m1.1.1.1.cmml">∼</mo><mrow id="id2.1.m1.1.1.3" xref="id2.1.m1.1.1.3.cmml"><mpadded width="+3.3pt" id="id2.1.m1.1.1.3.2" xref="id2.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mn id="id2.1.m1.1.1.3.2a" xref="id2.1.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mpadded><mo id="id2.1.m1.1.1.3.1" xref="id2.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="id2.1.m1.1.1.3.3" xref="id2.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="id2.1.m1.1.1.3.3.2" xref="id2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">cm</mi><mrow id="id2.1.m1.1.1.3.3.3" xref="id2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="id2.1.m1.1.1.3.3.3.1" xref="id2.1.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">-</mo><mn id="id2.1.m1.1.1.3.3.3.2" xref="id2.1.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">3</mn></mrow></msup></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S1.p2.1.m1.1.1" xref="S1.p2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S1.p2.1.m1.1.1.2" xref="S1.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S1.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S1.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">Γ</mi><mn id="S1.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="S1.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S1.p2.1.m1.1.1.1" xref="S1.p2.1.m1.1.1.1.cmml">∼</mo><mrow id="S1.p2.1.m1.1.1.3" xref="S1.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S1.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S1.p2.1.m1.1.1.3.1" xref="S1.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">-</mo><mn id="S1.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S1.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">5</mn></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S1.p3.3.m3.1.1" xref="S1.p3.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S1.p3.3.m3.1.1.2" xref="S1.p3.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p3.3.m3.1.1.2.2" xref="S1.p3.3.m3.1.1.2.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S1.p3.3.m3.1.1.2.3" xref="S1.p3.3.m3.1.1.2.3.cmml">e</mi></msub><mo id="S1.p3.3.m3.1.1.1" xref="S1.p3.3.m3.1.1.1.cmml">≃</mo><mrow id="S1.p3.3.m3.1.1.3" xref="S1.p3.3.m3.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p3.3.m3.1.1.3.2" xref="S1.p3.3.m3.1.1.3.2.cmml">0.1</mn><mo id="S1.p3.3.m3.1.1.3.1" xref="S1.p3.3.m3.1.1.3.1.cmml">-</mo><mn id="S1.p3.3.m3.1.1.3.3" xref="S1.p3.3.m3.1.1.3.3.cmml">0.6</mn></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S1.p3.4.m4.1.1" xref="S1.p3.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S1.p3.4.m4.1.1.2" xref="S1.p3.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p3.4.m4.1.1.2.2" xref="S1.p3.4.m4.1.1.2.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S1.p3.4.m4.1.1.2.3" xref="S1.p3.4.m4.1.1.2.3.cmml">B</mi></msub><mo id="S1.p3.4.m4.1.1.1" xref="S1.p3.4.m4.1.1.1.cmml">≃</mo><mrow id="S1.p3.4.m4.1.1.3" xref="S1.p3.4.m4.1.1.3.cmml"><msup id="S1.p3.4.m4.1.1.3.2" xref="S1.p3.4.m4.1.1.3.2.cmml"><mn id="S1.p3.4.m4.1.1.3.2.2" xref="S1.p3.4.m4.1.1.3.2.2.cmml">10</mn><mrow id="S1.p3.4.m4.1.1.3.2.3" xref="S1.p3.4.m4.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S1.p3.4.m4.1.1.3.2.3.1" xref="S1.p3.4.m4.1.1.3.2.3.1.cmml">-</mo><mn id="S1.p3.4.m4.1.1.3.2.3.2" xref="S1.p3.4.m4.1.1.3.2.3.2.cmml">6</mn></mrow></msup><mo id="S1.p3.4.m4.1.1.3.1" xref="S1.p3.4.m4.1.1.3.1.cmml">-</mo><mn id="S1.p3.4.m4.1.1.3.3" xref="S1.p3.4.m4.1.1.3.3.cmml">0.1</mn></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S2.p1.3.m3.1.1" xref="S2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mpadded width="+3.3pt" id="S2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S2.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mn id="S2.p1.3.m3.1.1.2a" xref="S2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">57</mn></mpadded><mo id="S2.p1.3.m3.1.1.1" xref="S2.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mpadded width="+3.3pt" id="S2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S2.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p1.3.m3.1.1.3a" xref="S2.p1.3.m3.1.1.3.cmml">mas</mi></mpadded><mo id="S2.p1.3.m3.1.1.1a" xref="S2.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.p1.3.m3.1.1.4" xref="S2.p1.3.m3.1.1.4.cmml"><mi id="S2.p1.3.m3.1.1.4.2" xref="S2.p1.3.m3.1.1.4.2.cmml">day</mi><mrow id="S2.p1.3.m3.1.1.4.3" xref="S2.p1.3.m3.1.1.4.3.cmml"><mo id="S2.p1.3.m3.1.1.4.3.1" xref="S2.p1.3.m3.1.1.4.3.1.cmml">-</mo><mn id="S2.p1.3.m3.1.1.4.3.2" xref="S2.p1.3.m3.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></math>, <math><mrow id="S2.p3.1.m1.1.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.p3.1.m1.1.1.2" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2.cmml"><mn id="S2.p3.1.m1.1.1.2.2" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml">1.1</mn><mo id="S2.p3.1.m1.1.1.2.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml">×</mo><msup id="S2.p3.1.m1.1.1.2.3" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S2.p3.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">10</mn><mrow id="S2.p3.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2.3.3.cmml"><mo id="S2.p3.1.m1.1.1.2.3.3.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2.3.3.1.cmml">-</mo><mn id="S2.p3.1.m1.1.1.2.3.3.2" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2.3.3.2.cmml">14</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S2.p3.1.m1.1.1.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.p3.1.m1.1.1.3" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml">ergcm</mi><mrow id="S2.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.p3.1.m1.1.1.3.3.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">-</mo><mn id="S2.p3.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S2.p3.1.m1.1.1.1a" xref="S2.p3.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.p3.1.m1.1.1.4" xref="S2.p3.1.m1.1.1.4.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S2.p3.1.m1.1.1.4.2" xref="S2.p3.1.m1.1.1.4.2.cmml">s</mi><mrow id="S2.p3.1.m1.1.1.4.3" xref="S2.p3.1.m1.1.1.4.3.cmml"><mo id="S2.p3.1.m1.1.1.4.3.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.4.3.1.cmml">-</mo><mn id="S2.p3.1.m1.1.1.4.3.2" xref="S2.p3.1.m1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></math>, <math><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo stretchy="false" id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Γ</mi><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">-</mo><mn id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo stretchy="false" id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">M</mi><mn id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">c</mi><mn id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">σ</mi><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo stretchy="false" id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">Γ</mi><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">sh</mi><mn id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">-</mo><mn id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo stretchy="false" id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2a" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">m</mi><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.4.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml">sw</mi></msub><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2b" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.5" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.5.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.5.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.5.2.cmml">c</mi><mn id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.5.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.5.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S3.E1.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">E</mi><mn id="S3.E1.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></math>, <math><mrow id="S3.p2.9.m3.2.2" xref="S3.p2.9.m3.2.2.cmml"><msub id="S3.p2.9.m3.2.2.4" xref="S3.p2.9.m3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.p2.9.m3.2.2.4.2" xref="S3.p2.9.m3.2.2.4.2.cmml">m</mi><mi id="S3.p2.9.m3.2.2.4.3" xref="S3.p2.9.m3.2.2.4.3.cmml">sw</mi></msub><mo id="S3.p2.9.m3.2.2.3" xref="S3.p2.9.m3.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.p2.9.m3.2.2.2" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.p2.9.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.p2.9.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo stretchy="false" id="S3.p2.9.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p2.9.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p2.9.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p2.9.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.p2.9.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p2.9.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S3.p2.9.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p2.9.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p2.9.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p2.9.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><mo stretchy="false" id="S3.p2.9.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p2.9.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.p2.9.m3.2.2.2.3" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p2.9.m3.2.2.2.4" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.4.cmml">π</mi><mo id="S3.p2.9.m3.2.2.2.3a" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S3.p2.9.m3.2.2.2.5" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.5.cmml"><mi id="S3.p2.9.m3.2.2.2.5.2" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.5.2.cmml">R</mi><mn id="S3.p2.9.m3.2.2.2.5.3" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.5.3.cmml">3</mn></msup><mo id="S3.p2.9.m3.2.2.2.3b" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S3.p2.9.m3.2.2.2.6" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.6.cmml"><mi id="S3.p2.9.m3.2.2.2.6.2" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.6.2.cmml">m</mi><mi id="S3.p2.9.m3.2.2.2.6.3" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.6.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S3.p2.9.m3.2.2.2.3c" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p2.9.m3.2.2.2.7" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.7.cmml">n</mi><mo id="S3.p2.9.m3.2.2.2.3d" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.9.m3.2.2.2.2.1" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo stretchy="false" id="S3.p2.9.m3.2.2.2.2.1.2" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p2.9.m3.2.2.2.2.1.1" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.2.1.1.cmml"><msubsup id="S3.p2.9.m3.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p2.9.m3.2.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.p2.9.m3.2.2.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">j</mi><mn id="S3.p2.9.m3.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.p2.9.m3.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.2.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p2.9.m3.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.2.1.1.3.cmml">4</mn></mrow><mo stretchy="false" id="S3.p2.9.m3.2.2.2.2.1.3" xref="S3.p2.9.m3.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S3.p2.15.m9.1.1" xref="S3.p2.15.m9.1.1.cmml"><mn id="S3.p2.15.m9.1.1.3" xref="S3.p2.15.m9.1.1.3.cmml">0.7</mn><mo id="S3.p2.15.m9.1.1.2" xref="S3.p2.15.m9.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.15.m9.1.1.1.1" xref="S3.p2.15.m9.1.1.1.1.1.cmml"><mo stretchy="false" id="S3.p2.15.m9.1.1.1.1.2" xref="S3.p2.15.m9.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p2.15.m9.1.1.1.1.1" xref="S3.p2.15.m9.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.p2.15.m9.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p2.15.m9.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi mathvariant="normal" id="S3.p2.15.m9.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.p2.15.m9.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Γ</mi><mn id="S3.p2.15.m9.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.p2.15.m9.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.p2.15.m9.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p2.15.m9.1.1.1.1.1.1.cmml">-</mo><mn id="S3.p2.15.m9.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p2.15.m9.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo stretchy="false" id="S3.p2.15.m9.1.1.1.1.3" xref="S3.p2.15.m9.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.p2.15.m9.1.1.2a" xref="S3.p2.15.m9.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.p2.15.m9.1.1.4" xref="S3.p2.15.m9.1.1.4.cmml"><mi id="S3.p2.15.m9.1.1.4.2" xref="S3.p2.15.m9.1.1.4.2.cmml">m</mi><mi id="S3.p2.15.m9.1.1.4.3" xref="S3.p2.15.m9.1.1.4.3.cmml">sw</mi></msub><mo id="S3.p2.15.m9.1.1.2b" xref="S3.p2.15.m9.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.p2.15.m9.1.1.5" xref="S3.p2.15.m9.1.1.5.cmml"><mi id="S3.p2.15.m9.1.1.5.2" xref="S3.p2.15.m9.1.1.5.2.cmml">c</mi><mn id="S3.p2.15.m9.1.1.5.3" xref="S3.p2.15.m9.1.1.5.3.cmml">2</mn></msup></mrow></math>, <math><mrow id="S3.E2.m1.3.3.1" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E2.m1.3.3.1.1" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.cmml"><mfrac id="S3.E2.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E2.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.E2.m1.3.3.1.1.2.2.1" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">R</mi></mrow><mrow id="S3.E2.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E2.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S3.E2.m1.3.3.1.1.2.3.1" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E2.m1.3.3.1.1.2.3.3" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mfrac><mo id="S3.E2.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S3.E2.m1.2.2" xref="S3.E2.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E2.m1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E2.m1.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.1.1.1.3.cmml">β</mi><mo id="S3.E2.m1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E2.m1.1.1.1.4.2" xref="S3.E2.m1.1.1.1.cmml"><mo stretchy="false" id="S3.E2.m1.1.1.1.4.2.1" xref="S3.E2.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi mathvariant="normal" id="S3.E2.m1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.cmml">Γ</mi><mo stretchy="false" id="S3.E2.m1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.E2.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E2.m1.1.1.1.2a" xref="S3.E2.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E2.m1.1.1.1.5" xref="S3.E2.m1.1.1.1.5.cmml">c</mi></mrow><mrow id="S3.E2.m1.2.2.2" xref="S3.E2.m1.2.2.2.cmml"><mn id="S3.E2.m1.2.2.2.3" xref="S3.E2.m1.2.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="S3.E2.m1.2.2.2.2" xref="S3.E2.m1.2.2.2.2.cmml">-</mo><mrow id="S3.E2.m1.2.2.2.4" xref="S3.E2.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E2.m1.2.2.2.4.2" xref="S3.E2.m1.2.2.2.4.2.cmml">β</mi><mo id="S3.E2.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E2.m1.2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E2.m1.2.2.2.4.3.2" xref="S3.E2.m1.2.2.2.4.cmml"><mo stretchy="false" id="S3.E2.m1.2.2.2.4.3.2.1" xref="S3.E2.m1.2.2.2.4.cmml">(</mo><mi mathvariant="normal" id="S3.E2.m1.2.2.2.1" xref="S3.E2.m1.2.2.2.1.cmml">Γ</mi><mo stretchy="false" id="S3.E2.m1.2.2.2.4.3.2.2" xref="S3.E2.m1.2.2.2.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E2.m1.2.2.2.4.1a" xref="S3.E2.m1.2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E2.m1.2.2.2.4.4" xref="S3.E2.m1.2.2.2.4.4.cmml">cos</mi><mo id="S3.E2.m1.2.2.2.4.1b" xref="S3.E2.m1.2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E2.m1.2.2.2.4.5" xref="S3.E2.m1.2.2.2.4.5.cmml">θ</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo id="S3.E2.m1.3.3.1.2" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow></math>

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1006.4335

Formulas:

1-

1 K to 2 K

2-

10 % to 20 %

3-

9 × 10^{5} {cm}^{- 2} s^{- 1}

4-

n = ϵ V / e d

5-

9 × 10^{5} e

6-

0.145 g {cm}^{- 3}

7-

5 × 10^{- 9} g

8-

90 J {mol}^{- 1}

9-

\sim 1 µ s

10-

1.8 × 10^{5} {cm}^{2} V^{- 1} s^{- 1}

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1901.05375

Formulas:

1-

F F M_{1}

2-

F F M_{2}

3-

i + 1^{t h}

4-

i + 1^{t h}

5-

F F M_{1}

6-

F F M_{2}

7-

F F M_{1}

8-

F F M_{2}

9-

F F M_{1}

10-

F F M_{2}

Formulas (html):

Correct Categorie: cs

Guessed Categorie: cs

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/2001.03649

Formulas:

1-

x_{1}, x_{2}, \dots \in 𝐑_{+ +}^{n}

2-

{(x_{t + 1})}_{i} = c_{i} {(x_{t})}_{1}^{A_{i 1}} \dots {(x_{t})}_{n}^{A_{i n}}, i = 1, \dots, n,

3-

A \in 𝐑^{n \times n}

4-

c \in 𝐑_{+ +}^{n}

5-

{({\hat{x}}_{t})}_{i} = \log ({(x_{t})}_{i})

6-

{\hat{x}}_{t + 1} = A {\hat{x}}_{t} + \hat{c},

7-

{\hat{c}}_{i} = \log (c_{i})

8-

{\hat{x}}_{t} = {(I - A)}^{- 1} \hat{c}

9-

{(x_{t + 1})}_{i} = c_{i} {(x_{t})}_{1}^{A_{i 1}} \dots {(x_{t})}_{n}^{A_{i n}} {(z_{t})}_{i}, i = 1, \dots, n,

10-

z_{t} \in 𝐑_{+ +}^{n}

Formulas (html):

Correct Categorie: math

Guessed Categorie: math

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/astro-ph/0002301

Formulas:

1-

\frac{δ T}{T} = - Φ

2-

\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} Φ}{\partial t^{2}} - \nabla^{2} Φ = - 4 π G (ρ - G σ^{2})

3-

d s^{2} = d t^{2} - (1 - 2 Φ) (d x^{2} + d y^{2} + d z^{2})

4-

\nabla^{2} Φ = 0

5-

\ddot{Φ} = - 4 π G c^{2} (ρ - G σ^{2})

6-

Φ (t) = - 4 π G c^{2} (ρ - G σ^{2}) t^{2} + B t + C

7-

{\frac{δ T}{T}}_{t o r s i o n} = 4 π G^{2} c^{2} σ^{2} t^{2}

8-

t = 10^{- 35} s

9-

\frac{δ T}{T} < 10^{- 5}

10-

σ^{2} = \frac{1}{4 π} (G^{- 2} c^{- 2} t^{- 2}) {\frac{δ T}{T}}_{t o r s i o n}

Formulas (html):

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/2002.01951

Formulas:

1-

\hat{χ} = 𝝈_{𝟏} \cdot (𝝈_{𝟐} \times 𝝈_{𝟑})

2-

𝝈_{j} = (σ_{j}^{x}, σ_{j}^{y}, σ_{j}^{z})

3-

| s_{1} s_{2} s_{3} ⟩

4-

e^{- i \hat{χ} θ} | s_{1} s_{2} s_{3} ⟩ = | s_{3} s_{1} s_{2} ⟩

5-

θ = π / 3 \sqrt{3}

6-

\hat{χ} \to - \hat{χ}

7-

H = ℏ \sum_{j = 1}^{3} ω_{j} (t) σ_{j}^{+} σ_{j}^{-} + ℏ g \sum_{j k} (σ_{j}^{+} σ_{k}^{-} + σ_{j}^{-} σ_{k}^{+}),

8-

ω_{j} (t)

9-

ω_{j} (t) = ω_{j} (0) + Δ_{j} \cos (ν_{j} t + ϕ_{j})

10-

ω_{j} (0)

Formulas (html):

Correct Categorie: quant-ph

Guessed Categorie: physics

Result: incorrect

Paper: https://arxiv.org/abs/math/0105147

Formulas:

1-

{\begin{matrix} \dot{x} = y \\ \dot{y} = x - x^{3} - μ y \end{matrix}

2-

H (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} x^{2} + C

3-

(x, y) \to (- x, - y)

4-

\begin{matrix} x_{1} = x_{1} (x, y) = x^{2} - y^{2}, \\ y_{1} = y_{1} (x, y) = 2 x y . \end{matrix}

5-

(x_{1}, y_{1})

6-

{\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} = \frac{1}{2} (x_{1} + r) y_{1} \\ {\dot{y}}_{1} = - x_{1}^{2} - \frac{1}{2} y_{1}^{2} + r (2 - x_{1}) \end{matrix}, r = \sqrt{x^{2} + y^{2}},

7-

(x_{1}, y_{1})

8-

x_{1} = 1 + ρ \cos θ, x_{2} = ρ \sin θ,

9-

\dot{θ} = - 2 \frac{x^{6} + x^{4} y^{2} - 2 x^{4} + y^{4} + x^{2} + y^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - 2 x^{2} + 2 y^{2} + 1}

10-

\tan θ (x, y) = y_{1} (x, y) / (x_{1} - 1) .

Formulas (html):

Correct Categorie: math

Guessed Categorie: math

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1802.00628

Formulas:

1-

Δ_{τ} x := x (t) - x (t + τ)

2-

Δ_{τ} v = v (t) - v (t + τ)

3-

σ (Δ_{τ} v) = 0.29

4-

σ (Δ_{τ} P) = 0.0067

5-

σ (Δ_{τ} P) = 0.0292

6-

ℱ [u] (ω) = ℱ [u] (- ω)

7-

f (t) = \frac{1}{2 π} \frac{d}{d t} Φ (t) = \frac{1}{2 π} \frac{d}{d t} \arg (z (t)) .

8-

ℋ [u] (t)

9-

z (t) := u (t) + i ℋ [u] (t)

10-

ℋ [u] (t) = (u * 1 / π t^{'}) (t),

Formulas (html):

Correct Categorie: physics

Guessed Categorie: nlin

Result: incorrect

Paper: https://arxiv.org/abs/1410.7936

Formulas:

1-

p_{λ} (v_{1} (a), v_{1} (b), v_{1} (c); v_{2} (a), v_{2} (b), v_{2} (c))

2-

v_{1} (a)

3-

p_{λ} (+, -, -; -, +, +)

4-

v_{1} (a) = + 1, v_{1} (b) = - 1, v_{1} (c) = - 1

5-

v_{2} (a) = - 1, v_{2} (b) = + 1, v_{2} (c) = + 1

6-

v_{1} (a) = + 1

7-

v_{2} (b) = + 1

8-

p_{λ} (a +, b +) = p_{λ} (+, -, +; -, +, -) + p_{λ} (+, -, -; -, +, +)

9-

p_{λ} (c +, b +)

10-

p_{λ} (a +, c +)

Formulas (html):

Correct Categorie: quant-ph

Guessed Categorie: math

Result: incorrect

Paper: https://arxiv.org/abs/1210.6972

Formulas:

1-

{m_{u d}, m_{s}, T}

2-

m_{u d} = 0

3-

m_{u d} = 0

4-

S U (2) \times S U (2) ≃ O (4)

5-

m_{u d} = 0

6-

U_{A} (1)

7-

U_{A} (1)

8-

r_{0} = 0.503 (10)

9-

L_{SM} \equiv Re [⟨ L_{SM} ⟩]

10-

{⟨ \bar{ψ} ψ ⟩}_{sub} = 2 \frac{N_{f} T}{V} m_{PCAC} \int d^{4} x ⟨ P (0) P (x) ⟩,

Formulas (html):

Correct Categorie: hep-lat

Guessed Categorie: hep-ph

Result: incorrect

Paper: https://arxiv.org/abs/0904.1821

Formulas:

1-

\sim 10^{6} - 10^{8}

2-

24 μ m \times 24 μ m

3-

18' \times 18'

4-

4^{h} 56^{m} 50 \overset{s}{.} 90

5-

- 66 ° 24' 21 \overset{''}{.} 6

6-

\sim 4 ″ - 6 ″

7-

9' \times 7'

8-

(5.5 \pm 0.8) \times 10^{- 13}

9-

k T = 0.18 \pm 0.07

10-

k T = {0.18}_{- 0.17}^{+ 0.18}

Formulas (html):

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/0801.0836

Formulas:

1-

2 π ξ / N

2-

ξ = 0, 1, 2, \dots, N - 1

3-

ℋ = - J \sum_{⟨ i j ⟩} \cos (θ_{i} - θ_{j}),

4-

W (θ_{1} θ_{2} θ_{3} θ_{4} θ_{5}) = \prod_{i = 1}^{5} \exp {\frac{J \cos (θ_{i} - θ_{i + 1})}{2 k_{B} T}},

5-

𝒵 = \sum_{{θ}} \prod W,

6-

ℳ^{(N)} = Tr [\cos (θ_{c}) ρ] / Tr ρ,

7-

ℰ^{(N)} = - J Tr [\cos (θ_{c} - θ_{c}^{'}) ρ] / Tr ρ,

8-

T / T_{0}^{(N)}

9-

t = (T_{0}^{(N)} - T) / T_{0}^{(N)}

10-

ℳ^{(N)} \propto t^{β}

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/0808.0465

Formulas:

1-

V_{S D} = 0.8

2-

S_{I} (f)

3-

S_{I; B G} (f)

4-

Δ V_{E G}

5-

G_{Q P C} \approx e^{2} / h

6-

d I_{Q P C} / d V_{G}

7-

G_{QPC} \approx e^{2} / h

8-

S_{I} (f)

9-

S_{I} (f)

10-

τ_{eff}^{- 1} = τ_{u}^{- 1} + τ_{d}^{- 1}

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/2009.14028

Formulas:

1-

N = 2, \dots, 9

2-

N = 2, 3, 4, 5

3-

x_{k}, y_{k} \in {0, 1}^{2}

4-

k = 1, \dots, N

5-

b \equiv b_{1} \dots b_{N} \in {0, 1}^{N}

6-

{x_{k}, y_{k}}_{k}

7-

b_{1} = \oplus_{k = 1}^{N} x_{k} and b_{k} = y_{k} \oplus y_{1},

8-

k = 2, \dots, N

9-

| GHZ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} ({| 0 ⟩}^{\otimes N} + {| 1 ⟩}^{\otimes N})

10-

| M_{b} ⟩ = σ_{Z}^{b_{1}} \otimes σ_{X}^{b_{2}} \otimes \dots \otimes σ_{X}^{b_{N}} | GHZ ⟩,

Formulas (html):

Correct Categorie: quant-ph

Guessed Categorie: cs

Result: incorrect

Paper: https://arxiv.org/abs/2010.08420

Formulas:

1-

1 / r^{¯ d}

2-

x_{i j} \equiv x_{j} ⸧ x_{i}

3-

r_{i j} \equiv \sqrt{x_{i j} \cdot x_{i j}}

4-

𝓕_{i} = \sum_{j} f_{i j} x_{i j} ◁ r_{i j} / 𝟎 ⸦

5-

| 𝓕 ⟩ = 𝒮^{T} | f ⟩ = 𝟎,

6-

𝒮_{i j, k} \equiv \frac{\partial r_{i j}}{\partial x_{k}} = (δ_{j k} - δ_{i k}) \frac{x_{i j}}{r_{i j}},

7-

z - 2 ¯ d

8-

\bar{ϕ_{α}} = 0, and \bar{ϕ_{α} ϕ_{β}} = δ_{α β},

9-

δ_{α β} = 1

10-

δ_{α β} = 0

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: astro-ph

Result: incorrect

Paper: https://arxiv.org/abs/cond-mat/0205601

Formulas:

1-

P (k) \sim k^{- γ}

2-

P (k) \sim k^{- 3}

3-

{a_{i j}}

4-

K = \sum_{i} k_{i} / 2

5-

< k > = 2 K / N

6-

d_{i j} \geq 1

7-

d_{i j} = 1

8-

L (𝐆) = \frac{1}{N (N - 1)} \sum_{i \neq j \in 𝐆} d_{i j}

9-

d_{i^{*} j^{*}} = + \infty

10-

k_{i} (k_{i} - 1) / 2

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/astro-ph/0308295

Formulas:

1-

≲ 10^{11} M_{☉}

2-

L_{H_{2}} \sim 10^{42} ergs / s

3-

M_{tot} \sim 10^{11} M_{☉}

4-

< 10^{11} M_{☉}

5-

(Ω_{M}, Ω_{Λ}, Ω_{B}, h, σ_{8}) = (0.3, 0.7, 0.05, 0.7, 0.9)

6-

ρ_{vir} = ρ_{crit} Δ_{c}

7-

Δ_{c} = 18 π^{2} + 82 x - 39 x^{2}, x = - \frac{Ω_{Λ}}{Ω_{0} {(1 + z_{vir})}^{3} + Ω_{Λ}},

8-

ρ_{crit} = ρ_{crit, 0} [Ω_{0} {(1 + z_{vir})}^{3} + Ω_{Λ}],

9-

R_{vir} = {(M_{tot} / \frac{4}{3} π ρ_{vir})}^{1 / 3},

10-

T_{vir} = \frac{G μ m_{H}}{5 k_{B} R_{vir}} M_{tot},

Formulas (html):

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: astro-ph

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1509.04100

Formulas:

1-

4 \pm 5 . counts

2-

0 \pm 2 . counts

3-

= T Δ \vec{a}

4-

= (\begin{matrix} δ x_{1} / δ a_{1} & δ x_{1} / δ a_{2} \\ δ x_{2} / δ a_{1} & δ x_{2} / δ a_{2} \end{matrix})

5-

(\begin{matrix} δ x_{1} / δ a_{1} \\ δ x_{2} / δ a_{1} \end{matrix})

6-

\approx R_{120} (\begin{matrix} δ x_{1} / δ a_{2} \\ δ x_{2} / δ a_{2} \end{matrix})

7-

30 ° to 80 °

8-

r_{80} (θ)

9-

= \sqrt{r^{2} + d_{0}^{2} \cdot {(\sin θ - \sin θ_{0})}^{2} + d_{1}^{2} \cdot {(\cos θ - \cos θ_{0})}^{2}}

10-

r_{80} (t)

Formulas (html):

<math><mrow id="S2.p1.7.m7.3.3" xref="S2.p1.7.m7.3.3.cmml"><mrow id="S2.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">4</mn><mo id="S2.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">±</mo><mrow id="S2.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S2.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">5</mn><mo id="S2.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">.</mo></mrow></mrow><mtext id="S2.p1.7.m7.2.2.2.2.2.2" xref="S2.p1.7.m7.2.2.2.2.2.2.cmml"> </mtext><mi id="S2.p1.7.m7.3.3.3.3.3.3" xref="S2.p1.7.m7.3.3.3.3.3.3.cmml">counts</mi></mrow></math>, <math><mrow id="S2.p1.8.m8.3.3" xref="S2.p1.8.m8.3.3.cmml"><mrow id="S2.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">±</mo><mrow id="S2.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S2.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">2</mn><mo id="S2.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.p1.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">.</mo></mrow></mrow><mtext id="S2.p1.8.m8.2.2.2.2.2.2" xref="S2.p1.8.m8.2.2.2.2.2.2.cmml"> </mtext><mi id="S2.p1.8.m8.3.3.3.3.3.3" xref="S2.p1.8.m8.3.3.3.3.3.3.cmml">counts</mi></mrow></math>, <math><mrow id="S3.E1.m2.1.1" xref="S3.E1.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.E1.m2.1.1.2" xref="S3.E1.m2.1.1.2.cmml"/><mo id="S3.E1.m2.1.1.1" xref="S3.E1.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E1.m2.1.1.3" xref="S3.E1.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E1.m2.1.1.3.2" xref="S3.E1.m2.1.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="S3.E1.m2.1.1.3.1" xref="S3.E1.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi mathvariant="normal" id="S3.E1.m2.1.1.3.3" xref="S3.E1.m2.1.1.3.3.cmml">Δ</mi><mo id="S3.E1.m2.1.1.3.1a" xref="S3.E1.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.E1.m2.1.1.3.4" xref="S3.E1.m2.1.1.3.4.cmml"><mi id="S3.E1.m2.1.1.3.4.2" xref="S3.E1.m2.1.1.3.4.2.cmml">a</mi><mo stretchy="false" id="S3.E1.m2.1.1.3.4.1" xref="S3.E1.m2.1.1.3.4.1.cmml">→</mo></mover></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S3.E2.m2.1.2" xref="S3.E2.m2.1.2.cmml"><mi id="S3.E2.m2.1.2.2" xref="S3.E2.m2.1.2.2.cmml"/><mo id="S3.E2.m2.1.2.1" xref="S3.E2.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E2.m2.1.1a.3" xref="S3.E2.m2.1.1a.2.cmml"><mo id="S3.E2.m2.1.1a.3.1" xref="S3.E2.m2.1.1a.2.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" rowspacing="0pt" id="S3.E2.m2.1.1.1.1" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S3.E2.m2.1.1.1.1a" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.cmml"><mtd columnalign="center" id="S3.E2.m2.1.1.1.1b" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">δ</mi></mrow><mo id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mn id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mtd><mtd columnalign="center" id="S3.E2.m2.1.1.1.1c" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mrow id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.2" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.2.2" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.2.3" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.2.3.2" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.2.3.3" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.1" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.3" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml">δ</mi></mrow><mo id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">a</mi><mn id="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E2.m2.1.1.1.1d" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.cmml"><mtd columnalign="center" id="S3.E2.m2.1.1.1.1e" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.1" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.3" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.3.cmml">δ</mi></mrow><mo id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">a</mi><mn id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mtd><mtd columnalign="center" id="S3.E2.m2.1.1.1.1f" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml"><mrow id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.2" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.2.2" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.2.1" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3.2" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3.3" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.1" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.3" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.2.3.cmml">δ</mi></mrow><mo id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.3.2" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.3.2.cmml">a</mi><mn id="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.3.3" xref="S3.E2.m2.1.1.1.1.2.2.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S3.E2.m2.1.1a.3.2" xref="S3.E2.m2.1.1a.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S3.E3.m1.1.1a.3" xref="S3.E3.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S3.E3.m1.1.1a.3.1" xref="S3.E3.m1.1.1a.2.1.cmml">(</mo><mtable rowspacing="0pt" id="S3.E3.m1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S3.E3.m1.1.1.1.1a" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd columnalign="center" id="S3.E3.m1.1.1.1.1b" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">δ</mi></mrow><mo id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mn id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E3.m1.1.1.1.1c" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd columnalign="center" id="S3.E3.m1.1.1.1.1d" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.1" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.3" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.3.cmml">δ</mi></mrow><mo id="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">a</mi><mn id="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S3.E3.m1.1.1a.3.2" xref="S3.E3.m1.1.1a.2.1.cmml">)</mo></mrow></math>, <math><mrow id="S3.E3.m2.1.2" xref="S3.E3.m2.1.2.cmml"><mi id="S3.E3.m2.1.2.2" xref="S3.E3.m2.1.2.2.cmml"/><mo id="S3.E3.m2.1.2.1" xref="S3.E3.m2.1.2.1.cmml">≈</mo><mrow id="S3.E3.m2.1.2.3" xref="S3.E3.m2.1.2.3.cmml"><msub id="S3.E3.m2.1.2.3.2" xref="S3.E3.m2.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E3.m2.1.2.3.2.2" xref="S3.E3.m2.1.2.3.2.2.cmml">R</mi><mn id="S3.E3.m2.1.2.3.2.3" xref="S3.E3.m2.1.2.3.2.3.cmml">120</mn></msub><mo id="S3.E3.m2.1.2.3.1" xref="S3.E3.m2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m2.1.1a.3" xref="S3.E3.m2.1.1a.2.cmml"><mo id="S3.E3.m2.1.1a.3.1" xref="S3.E3.m2.1.1a.2.1.cmml">(</mo><mtable rowspacing="0pt" id="S3.E3.m2.1.1.1.1" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S3.E3.m2.1.1.1.1a" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.cmml"><mtd columnalign="center" id="S3.E3.m2.1.1.1.1b" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">δ</mi></mrow><mo id="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mn id="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E3.m2.1.1.1.1c" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.cmml"><mtd columnalign="center" id="S3.E3.m2.1.1.1.1d" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml">δ</mi><mo id="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.1" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.3" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.2.3.cmml">δ</mi></mrow><mo id="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">a</mi><mn id="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S3.E3.m2.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S3.E3.m2.1.1a.3.2" xref="S3.E3.m2.1.1a.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S4.p1.7.m7.2.2.4" xref="S4.p1.7.m7.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">30</mn><mtext id="S4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"> </mtext><mi class="ltx_unit" mathvariant="normal" id="S4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">°</mi></mrow><mtext id="S4.p1.7.m7.2.2.4.1" xref="S4.p1.7.m7.2.2.3.1.cmml"> to </mtext><mrow id="S4.p1.7.m7.2.2.2.2.2.2" xref="S4.p1.7.m7.2.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S4.p1.7.m7.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.p1.7.m7.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">80</mn><mtext id="S4.p1.7.m7.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.p1.7.m7.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"> </mtext><mi class="ltx_unit" mathvariant="normal" id="S4.p1.7.m7.2.2.2.2.2.2.3.3.3.3.3" xref="S4.p1.7.m7.2.2.2.2.2.2.3.3.3.3.3.cmml">°</mi></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S5.E4.m1.1.2" xref="S5.E4.m1.1.2.cmml"><msub id="S5.E4.m1.1.2.2" xref="S5.E4.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.E4.m1.1.2.2.2" xref="S5.E4.m1.1.2.2.2.cmml">r</mi><mn id="S5.E4.m1.1.2.2.3" xref="S5.E4.m1.1.2.2.3.cmml">80</mn></msub><mo id="S5.E4.m1.1.2.1" xref="S5.E4.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E4.m1.1.2.3.2" xref="S5.E4.m1.1.2.cmml"><mo stretchy="false" id="S5.E4.m1.1.2.3.2.1" xref="S5.E4.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.E4.m1.1.1" xref="S5.E4.m1.1.1.cmml">θ</mi><mo stretchy="false" id="S5.E4.m1.1.2.3.2.2" xref="S5.E4.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></math>, <math><mrow id="S5.E4.m2.2.3" xref="S5.E4.m2.2.3.cmml"><mi id="S5.E4.m2.2.3.2" xref="S5.E4.m2.2.3.2.cmml"/><mo id="S5.E4.m2.2.3.1" xref="S5.E4.m2.2.3.1.cmml">=</mo><msqrt id="S5.E4.m2.2.2" xref="S5.E4.m2.2.2.cmml"><mrow id="S5.E4.m2.2.2.2" xref="S5.E4.m2.2.2.2.cmml"><msup id="S5.E4.m2.2.2.2.4" xref="S5.E4.m2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S5.E4.m2.2.2.2.4.2" xref="S5.E4.m2.2.2.2.4.2.cmml">r</mi><mn id="S5.E4.m2.2.2.2.4.3" xref="S5.E4.m2.2.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E4.m2.2.2.2.3" xref="S5.E4.m2.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S5.E4.m2.1.1.1.1" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.E4.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E4.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mn id="S5.E4.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn><mn id="S5.E4.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S5.E4.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.2.cmml">⋅</mo><msup id="S5.E4.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo stretchy="false" id="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">sin</mi><mo id="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mi id="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">-</mo><mrow id="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">sin</mi><mo id="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><msub id="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">θ</mi><mn id="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><mo stretchy="false" id="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E4.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.E4.m2.2.2.2.3a" xref="S5.E4.m2.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S5.E4.m2.2.2.2.2" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.cmml"><msubsup id="S5.E4.m2.2.2.2.2.3" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.E4.m2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">d</mi><mn id="S5.E4.m2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S5.E4.m2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S5.E4.m2.2.2.2.2.2" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.2.cmml">⋅</mo><msup id="S5.E4.m2.2.2.2.2.1" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo stretchy="false" id="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">cos</mi><mo id="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2a" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mi id="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">-</mo><mrow id="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">cos</mi><mo id="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3a" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><msub id="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">θ</mi><mn id="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><mo stretchy="false" id="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.3" xref="S5.E4.m2.2.2.2.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></msqrt></mrow></math>, <math><mrow id="S5.p3.2.m2.1.2" xref="S5.p3.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S5.p3.2.m2.1.2.2" xref="S5.p3.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S5.p3.2.m2.1.2.2.2" xref="S5.p3.2.m2.1.2.2.2.cmml">r</mi><mn id="S5.p3.2.m2.1.2.2.3" xref="S5.p3.2.m2.1.2.2.3.cmml">80</mn></msub><mo id="S5.p3.2.m2.1.2.1" xref="S5.p3.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p3.2.m2.1.2.3.2" xref="S5.p3.2.m2.1.2.cmml"><mo stretchy="false" id="S5.p3.2.m2.1.2.3.2.1" xref="S5.p3.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.p3.2.m2.1.1" xref="S5.p3.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo stretchy="false" id="S5.p3.2.m2.1.2.3.2.2" xref="S5.p3.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></math>

Correct Categorie: astro-ph

Guessed Categorie: physics

Result: incorrect

Paper: https://arxiv.org/abs/cond-mat/0608489

Formulas:

1-

r^{- (d - 2 + η)}

2-

s_{j} \in {- 1, 0, 1}

3-

h_{j} \in {0, 1, 2}

4-

3 L (L - 1) + 1

5-

N = 6 L^{2}

6-

h_{j} = 0, 1, 2

7-

s_{j} = 0, - 1, + 1

8-

s_{j} \in {- 1, 0, 1}

9-

h_{j} \in {0, 1, 2}

10-

h_{j} = 0, 1, 2

Formulas (html):

Correct Categorie: cond-mat

Guessed Categorie: cond-mat

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/1410.5104

Formulas:

1-

S = - \int d^{4} x \sqrt{- g} [α C^{α β μ ν} C_{α β μ ν} - β (φ^{2} R + 6 \partial_{μ} φ \partial^{μ} φ)] + \int d^{4} x ℒ_{m},

2-

C_{μ β ν}^{α}

3-

R_{μ β ν}^{α} + \frac{1}{2} (δ_{ν}^{α} R_{μ β} - δ_{β}^{α} R_{μ ν} + g_{μ β} R_{ν}^{α} - g_{μ ν} R_{β}^{α})

4-

+ \frac{1}{6} (δ_{β}^{α} g_{μ ν} - δ_{ν}^{α} g_{μ β}) R

5-

R_{μ β ν}^{α}

6-

R_{μ ν} = R_{μ α ν}^{α}

7-

R = g^{μ ν} R_{μ ν}

8-

ℒ_{m} = ℒ_{m} (Ψ, g, φ)

9-

{\tilde{g}}_{μ ν} = e^{2 θ (x)} g_{μ ν},

10-

\tilde{φ} = e^{- θ (x)} φ,

Formulas (html):

Correct Categorie: gr-qc

Guessed Categorie: gr-qc

Result: correct

Paper: https://arxiv.org/abs/hep-ph/9704396

Formulas:

1-

R_{n} (s_{0}) = (n + 1) \int_{0}^{s_{0}} \frac{d s}{s_{0}} {(\frac{s}{s_{0}})}^{n} R (s) .

2-

R_{n} (s_{0}) = 1

3-

R (s) = 1

4-

R_{n}^{0} (s_{0})

5-

r_{n} (s_{0})

6-

R_{n} (s_{0}) = R_{n}^{0} (s_{0}) (1 + \frac{4}{9} r_{n} (s_{0})) .

7-

d (Q^{2})

8-

D (Q^{2}) = \frac{1}{4 π^{2}} (1 + \frac{4}{9} d (Q^{2}))

9-

d (Q^{2})

10-

d (Q^{2}) = a (Q^{2}) + k_{1} a^{2} (Q^{2}) + k_{2} a^{3} (Q^{2}) + k_{3} a^{4} (Q^{2}) + \dots

Formulas (html):

Correct Categorie: hep-ph

Guessed Categorie: math

Result: incorrect

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